Centro de Investigación en Teoría de Categorías y sus Aplicaciones, A.C.
CINVCAT

 
Tercer Coloquio de Categorías, Álgebra y Temas Afines

$\DeclareMathOperator{\Pol}{Pol}$


Del 14 al 18 de enero de 2019.
CinvCat e IMATE Oaxaca UNAM
Lugar: Hotel Fortín Plaza, salón Ámbar.



Comité Organizador

Carlos Segovia González,
Francisco Marmolejo Rivas,
Enrique Ruiz Hernández,
Lizbeth Sandoval Miranda,
Ángel Zaldívar Corichi.



Propósito:

Reunir en un mismo espacio a especialistas en categorías y álgebras para que expongan su investigación y generar, de esta forma, un ambiente propicio para el intercambio de ideas que ayuden a crear vínculos académicos y de investigación así como reforzar los ya existentes.


Horario
Programa


Lunes 14 de enero
Salón Ámbar

 

9:55 - 10:00 hrs

Inauguración

10:00 - 11:00 hrs Dominic Verity - Macquarie University

Título: Synthetic $\infty$-category theory and $\infty$-cosmology

Resumen: Applications of homotopy theory are ubiquitous in many fields of mathematics; celebrated examples include those that abound in algebraic geometry and algebraic K-theory. While these are all recognisably homotopical in essence, relatively few find natural expression in the traditional category of topological spaces and continuous maps. Instead, we work within an abstractly defined homotopy theory of generalised spaces specifically adapted to the application at hand. Examples of homotopy theories of this kind include those that apply to various varieties of spectra, simplicial sheaves and schemes, mixed motives, operads, and so forth. In recent times we have come to use the term $\infty$-category to refer to any structure designed to axiomatise (aspects of) these abstract homotopy theories. Indeed we might say, rather presumptuously, that $\infty$-categories provide the context for synthetic accounts of homotopy theory.
     The past two decades have seen the development of a veritable panoply of $\infty$-categorical notions. Where once the model categories of Quillen and the triangulated categories of Verdier sufficed for most purposes, many more recent applications have populated the homotopical zoo with a great variety of exotic $\infty$-categorical species. Notable beasts of this kind include simplicial categories, quasi-categories, (complete) Segal spaces and categories, relative categories, Theta-sets, complicial sets, and many variants on these themes. Some of these come equipped with a fully developed homotopical category theory, but most enjoy only a folkloric account of the basic categorical tropes such as limits, colimits, Kan extensions, monads and monadicity, generator properties, Grothendieck fibrations and so forth.
     In this presentation we propose to survey the $\infty$-categorical menagerie from the air. In doing so we shall develop a map describing how the category theory of $\infty$-categories may be developed in a way that is largely model independent. By analogy with traditional accounts of categorical foundations, wherein we study categories of various kinds by interrogating abstract properties of the 2-categories in which they live, the essence of our approach will be the axiomatic study of $\infty$-category theory within certain $(\infty,2)$-categories. More specifically, we shall make our $(\infty,2)$-categories concrete by studying $\infty$-cosmoi, these being certain simplicially enriched categories of fibrant objects. We examine how structures of this sort support a natural account of the key foundational $\infty$-categorical theories of limits and colimits, Grothendieck fibrations, (point-wise) Kan extension, monads, Beck monadicity, and so forth.
     As a form of ur-witticism, we shall adopt the term $\infty$-cosmology for this sort of synthetic $\infty$-category theory. This work is joint with Emily Riehl, Johns Hopkins University, and is the subject of a book in development entitled “Elements of $\infty$-Category Theory”, the current draft of which may be found at http://www.math.jhu.edu/~eriehl/elements.pdf.

11:00 - 11:30 hrs

Café

11:30 - 12:30 hrs Francisco Marmolejo Rivas - IMATE CU UNAM

Título: Cohesión axiomática

Resumen: En su propuesta de cohesión axiomática, F.W. Lawvere nos dice que “Una ciencia explícita de cohesión es necesaria para dar cuenta de los varios modelos ambiente para las teorías matemáticas dinámicas. Una tal ciencia necesita ser lo suficientemente expresiva para explicar como es que estos ambientes son tan diferentes de otras categorías matemáticas y también diferentes unas de otras y, sin embargo, tan unidas que ellas pueden ser mutuamente transformadas. Un ejemplo de la vida diaria de una tal transformación mutua es la aplicación del metereólogo del método del elemento finito (el cual puede ser visto como análisis en un topos combinatorio) a ecuaciones de termomecánica continua (que puede ser vista como análisis en un topos diferenciable, en donde viven las funciones diferenciables y las distribuciones)”. En esta plática analizaremos la propuesta de Lawvere de definición de cohesión (en la idea de que, como se acostumbra en conjuntos, no diremos lo que es cohesión sino que describiremos su comportamiento) basada en una sucesión de funtores adjuntos con algunas propiedades extra. Hablaremos de varias clases de objetos asociados a una situación de cohesión.

12:30 - 13:00 hrs

Café

13:00 - 14:00 hrs Luis Jesús Turcio Cuevas - IMATE CU UNAM

Título: Topos de funciones unilaterales

Resumen: El topos de Lawvere de funciones continuas del intervalo no tiene suficientes cubiertas. Isbell muestra que $x\mapsto\tfrac{1}{2}x$ y $x\mapsto\tfrac{1}{2}(x+1)$ no es una cubierta del intervalo. Debido a esta falla, Johnstone abandona la filosofía de Lawvere en su topos topológico. Años después, Menni encuentra un ejemplo de un topos cohesivo sobre conjuntos, considerando al monoide de funciones lineales a pedazos del intervalo y se pregunta: ¿cuál es el monoide más grande de funciones continuas del intervalo para el cual se obtiene un topos cohesivo sobre conjuntos?
     En esta plática reponderemos la pregunta de Menni introduciendo el concepto de función unilateral y, al mismo tiempo, veremos que no era necesario abandonar la filosofí­a de Lawvere en la construcción del topos topológico. Además, mostraremos algunas diferencias entre el topos de funciones unilaterales y el topos topológico.


Martes 15 de enero.
Salón Ámbar

 

10:00 - 11:00 Octavio Alberto Agustín Aquino - UTM

Título: Towards a categorical generalization of counterpoint

Resumen: This is a first attempt to reformulate Mazzola's counterpoint model in terms of category theory. One immediate outcome is the possibility of relaxing the “yes/no” character of the definitions of consonance, and stressing its dependence on context in general. A counterpoint model with sets instead of pure pitches is obtained. Some problems related to the extension of Kuratowski's closure operator stemming from counterpoint polarities are considered.

11:00 - 11:30 hrs

Café

11:30 - 12:30 hrs Alma Violeta García López - IMATE UNAM CU e ITAM

Título: Una travesía a través del Teorema de Makkai

Resumen: En el contexto de la lógica categórica, Makkai estudia a partir de la dualidad de Gabriel-Ulmer, la posibilidad de equipar a la categoría de modelos de una teoría de primer orden con una estructura mediante la que sea posible recuperar la sintaxis de la teoría original. Como primer paso construye un pretopos pequeño $P$ para toda teoría coherente $T$, tal que la categoría de modelos de $T$ es equivalente a la categoría de funtores elementales de $P$ en la categoría de conjuntos, llamada $Mod(P)$.
     En la dualidad de Gabriel- Ulmer, Makkai sustituye a $LEX(C,\mathbf{Set})$ con $Mod(P)$, y la parte correspondiente a los colímites filtrantes de $LFC$ se resuelve a través de ultracategorías, es decir, categorías y funtores compatibles con la construcción de ultraproductos de modelos sobre algún ultrafiltro. Decimos que un funtor es ultrafinito si permite preservar la estructura de pretopos de los modelos y recuperar el funtor ultrafiltro.
     El objetivo de esta charla es presentar un compendio del estudio de J. Lurie sobre el teorema de Makkai y tratar de descubrir cómo los morfismos ultrafinitos encajan en este.

12:30 - 13:00 hrs

Café

13:00 - 14:00 Edith Vargas García - ITAM

Título: Reconstructing the topology on polymorphism clones

Resumen: Clones on a set $A$ are finitary functions that are closed under compositions and contain all projections. Clones carry a natural topology, induced by the topology of point-wise convergence. The polymorphism clones $\Pol(\mathcal{A})$ of a relational structure $\mathcal{A}$ are viewed abstractly as topological clones. Their topology is the natural one. In this talk we show how to reconstruct the topology on the polymorphism clones of some relational structures, among others are: Reducts of the rationals ${\mathbb Q}$. This is a joint work with Mike Behrisch & John K. Truss.

14:00 - 16:00 hrs

Comida

16:00 - 17:00 Omar Antolín Camarena - IMATE CU UNAM

Título: La jerarquía de conmutatividad de estructuras monoidales

Resumen:  Además de las categorías monoidales y las categorías monoidales simétricas, resultó necesario inventar el concepto intermedio de categoría monoidal trenzada para algunas aplicaciones. ¿Cuando pasamos a categorías superiores, cuántas nociones de conmutatividad para estructuras habrá?, ¿cómo las organizamos? En esta charla explicaré cómo la teoría de óperads, nacida en la teoría de homotopía, responde a esta pregunta.


Miércoles 16 de enero.
Salón Ámbar

 

10:00 - 11:00 Enrique Bojórquez Gallardo - IMATE CU UNAM

Título: Teoría categórica de datos

Resumen: Las bases de datos relacionales han sido de gran utilidad y tienen mucho potencial en el desarrollo del análisis de datos. Ha habido varias manera de formalizar este concepto dentro de la teoría de categorías, las cuales permiten ver el proceso de integración y migración de datos de una manera muy elegante a través de adjunciones. La idea es exponer un fragmento sobre las bases de esta teoría, el tipo de problemas que se encuentran actualmente en el análisis de datos, como la calidad de los datos, y posibles caminos que nos puedan llevar a la solución de estos a través de un formalismo categórico.

11:00 - 11:30 hrs

Café

11:30 - 12:30 Adrián Vázquez Márquez - UIW y CinvCat

Título: La 2-adjunción de Eilenberg-Moore para mónadas no iteradas

Resumen: Se propone construir la 2-adjunción del tipo Adj-Mnd que relaciona a la doble categoría de adjunciones con la 2-categoría de mónadas, pero en esta ocasión se analizará en el contexto de flechas universales y mónadas no iteradas. Si el tiempo lo permite, se propondrá la extensión a pseudoadjunciones y pseudomónadas

12:30 - 13:00 hrs

Café

13:00 - 14:00 Yannic Vargas - IVIC (vía Skype)

Título: Óperads en la categoría de coálgebras graduadas y álgebras de Hopf combinatorias

Resumen: Un óperad es definido sobre la estructura de coálgebra del álgebra de Hopf de Malvenuto-Reutenauer de permutaciones, utilizando las nociones de composición de coálgebras graduadas utilizadas por S. Forcey, A. Lauve y F. Sottile. En particular, esta construcción permite redefinir el clásico producto de barajeo (“shuffle product”) entre permutaciones. Este óperad permite, además, definir un conjunto parcialmente ordenado sobre un nuevo tipo de árboles bicoloreados con etiquetas. Se compara esta estructura de conjunto parcialmente ordenado y sus consecuencias algebraicas con el Esteloedro, politopo definido por S. Forcey y L. Berry.

14:00 - 16:00 hrs

Comida

16:00 - 17:00 Ramón Abud Alcalá - Macquarie University

Título: Funtores cuánticos como morfismos generalizados entre monoidales torcidos.

Resumen: Las categorías cuánticas están definidas como mónadas opmonoidales sobre objetos monoidales envolventes en bicategorías de la forma Mod(V), para una adecuada categoría monoidal V. Hay otras descripciones equivalentes para las categorías cuánticas tales como objetos monoidales torcidos derechos cuya unidad tiene adjunto derecho, y ciertas mónadas de acciones oplaxas derechas. En esta charla exploraremos distintas descripciones de los funtores cuánticos. Este trabajo está basado en los trabajos de Day, Street, Szlachányi, Lack y Chikhladze sobre categorías cuánticas.


Jueves 17 de enero.
Salón Ámbar

 

10:00 - 11:00 Ángel Zaldívar Corichi - CUCEI U de G

Título: Núcleos sobre topologías de Alexandroff

Resumen: En esta plática daremos un esbozo de la estructura del marco (locale) de núcleos sobre el marco de abiertos de un espacio de Alexadroff, veremos que las compactificaciones ordenadas son la clave para determinar la estructura de este marco.
     Por último, mencionaremos cómo esta caracterización está íntimamente relacionada con un teorema de Isbell-Simmons y con el problema de la reflexión booleana para la categoría de marcos. Este es un trabajo conjunto con Francisco Avila, Guram Bezhanishvili y Patrick Morandi.

11:00 - 11:30 hrs

Café

11:30 - 12:30 Rita Jiménez Rolland - IMATE Oaxaca UNAM

Título: Estabilidad de representaciones y FI-módulos

Resumen: En esta charla describiremos la categoría de FI-módulos y algunas de sus propiedades. Nuestro objetivo principal es mostrar cómo los FI-módulos codifican propiedades estructurales que rigen ciertas sucesiones de representaciones del grupo simétrico $S_n$. Si el tiempo lo permite, discutiremos lo que este marco de ideas nos dice sobre la cohomología de espacios de configuraciones de $n$ puntos ordenados en variedades conexas y la cohomología de grupos modulares de superficies.

12:30 - 13:00 hrs

Café

13:00 - 14:00 Luis Manuel Venegas Grajales - Facultad de Ciencias UNAM

Título: Un breve estudio categórico de los espacios (V) de Fréchet

Resumen: Como precedente histórico de las interacciones entre el análisis matemático y los albores de la topología de conjuntos, existe un pequeño e interesante artículo de Maurice René Fréchet: Sobre la noción de vecindad en un espacio discreto. En esta obra, Fréchet expone un detallado vínculo entre los espacios discretos de Linfield (conjuntos en los que se ha definido una relación simétrica R entre sus elementos, y cuya finalidad era formular un concepto “natural” de un espacio físico ordinario, libre de toda construcción anterior proveniente del análisis matemático de la época) y los, así llamados por el propio Fréchet, espacios de vecindades o espacios (V), que son uno de los enfoques creados por él para definir la topología de un conjunto.
     Brevemente, un espacio (V) es un conjunto en el que cada elemento tiene asociado una familia de subconjuntos llamados vecindades del elemento. Sorprendentemente, en una situación tan simple como esta, es posible generar variedad de conceptos topológicos fundamentales (punto de acumulación, conjunto derivado, conexidad y dimensión, por mencionar algunos).
     Fréchet propone sus espacios de vecindades como una herramienta para definir los conceptos infinitesimales de punto de acumulación y conjunto derivado. Antecede a su idea los esfuerzos de varios matemáticos (Ascoli, Arzelá, Volterra, Riesz) para llevar a cabo un programa que buscaba traducir adecuadamente los procesos infinitesimales del cálculo diferencial en ambientes conjuntistas abstractos. En efecto, uno de los problemas principales en los fundamentos del análisis era formalizar la idea de una magnitud que se hace arbitrariamente pequeña, cuyas raíces se pueden ubicar en los infinitesimales fijos propuestos por Newton en sus Principia, utilizados abiertamente por grandes matemáticos como Halley, y criticados afanosamente por intelectuales como el Obispo Berkeley, llamándolos “fantasmas de las cantidades desaparecidas”.
     El propósito esencial al que aspira esta plática es interpretar en el marco de la teoría de categorías algunos conceptos y construcciones presentes en la teoría de los espacios (V). Aquí se pretende dejar entrever la fineza y versatilidad del lenguaje categórico para describir y organizar de un modo eficiente una teoría matemática que antecede por décadas a su génesis. En pocas palabras, dar una prueba más de que la noción de composición de morfismos lleva al trato más natural de variedad de nociones fundamentales de las matemáticas.

14:00 - 16:00 hrs

Comida

16:00 - 17:00 Carlos Segovia González - IMATE Oaxaca UNAM

Título: Teoría de homotopía de digráficas

Resumen: En la presente plática estudiaremos una estructura de categoría modelo para la categoría de digráficas.


Viernes 18 de enero.
Salón Ámbar

 

10:00 - 11:00 Valente Santiago Vargas - Facultad de Ciencias UNAM

Título: Origen de las categorías derivadas y Representaciones de Álgebras

Resumen: Veremos el problema que motivó a Grothendieck para la creación de las categorías derivadas, cómo es que se volvieron una herramienta muy importante en geometría algebraica y cómo fue que empezaron a ser útiles para estudiar las categorías de módulos sobre $k$-álgebras de dimensión finita.

11:00 - 11:30 hrs

Café

11:30 - 12:30 Martha Lizbeth Shaid Sandoval Miranda - UAM Iztapalapa

Título: Sucesiones de AR en subcategorías

Resumen: Las sucesiones de Auslander-Reiten (AR) son muy importantes en la teoría de representaiciones de álgebras para el estudio de la categoría de módulos finitamente generados. Auslander y Smalø introdujeron el estudio de sucesiones relativas de Auslander-Reiten relativas a subcategorías con suficientes condiciones, y desde entonces varios trabajos se han realizado en este tema. En esta plática, daremos un recorrido por los conceptos de morfismos irreducibles, sucesiones AR y radical, relativos a subcategorías.

12:30 - 13:00 hrs

Café

13:00 - 14:00 Enrique Ruiz Hernández - CinvCat

Título: Leyes distributivas sin iteraciones

Resumen: El objetivo de este trabajo es dar una versión sin iteraciones de una seudoley distributiva; es decir, proponer una definición de seudoley distributiva sin iteraciones y mostrar que una seudoley distributiva induce una sin iteraciones y viceversa.
      Hay una motivación doble para este trabajo: (1) prescindir de las iteraciones $TT$ y $TTT$ en la forma usual de una seudoly distributiva, como en la forma extensiva de una mónada dada por Ernst Manes o como en el concepto de dispositivo de Robert Walters, y (2) extender los resultados del artículo Monads as extension systems —no iteration is necessary de Marmolejo y Wood, y sobre todo extender, para una seudoley distributiva, los resultados para seudomónadas sin iteraciones de No-iteration pseudomonads de los mismos autores. Este es un trabajo conjunto con Francisco Marmolejo y Adrián Vázquez Márquez.




 


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