$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}\newcommand{\mon}{\mathbf{Mon}} \newcommand{\ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\an}{\mathbf{An}}\newcommand {\matcon}{\mathbf{Mat\text{-}Con}} \newcommand{\grp}{\mathbf{Grp}} \newcommand{\ob}{\mathrm{Ob}} \newcommand{\dia}{\mathrm{diag}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\tra}{\mathsf{P}} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^+} \newcommand{\unitin}{\mathbb{I}} \newcommand{\unitg}{\mathbf{I}} \newcommand{\tp}{\mathbf{Top}} \newcommand{\grpd}{\mathbf{Grpd}} \newcommand{\Indisc}{\mathbf{Indisc}} \DeclareMathOperator{\Ima}{Im} \newcommand{\dos}{\mathbf{2}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\cat}{\mathbf{CAT}} \newcommand{\rel}{\mathbf{Rel}} \newcommand{\mo}{\mathbf{Mod}} \newcommand{\copo}{\mathbf{Copo}} \newcommand{\h}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\catpf}{\mathbf{CatPF}} \newcommand{\catcpf}{\mathbf{CatcPF}} \newcommand{\catlf}{\mathbf{CatLF}} \newcommand{\catmon}{\mathbf{CatMon}} \newcommand{\catmonf}{\mathbf{CatMonFf}} \newcommand{\catmonfs}{\mathbf{CatMonFe}} \newcommand{\adj}{\mathbf{Adj}} \newcommand{\mndkl}{\mathbf{Mnd}_{Kl}} \newcommand{\mndem}{\mathbf{Mnd}_{EM}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\algi}{\mathbf{AlgI}} \DeclareMathOperator{\algd}{\mathbf{AlgD}} \DeclareMathOperator{\mnd}{\mathbf{Mnd}} \DeclareMathOperator{\cofam}{\mathbf{coFam}} \DeclareMathOperator{\monsim}{\mathbf{MonSim}} \newcommand{\catmonsim}{\mathbf{CatMonSim}}$
2-categorías
Las siguientes notas están basadas en la sección 4.1 de
[3].
Definición. Una 2-categoría $A$ consiste de
- un conjunto de objetos (no necesariamente pequeño) $\ob(A)$;
- una categoría $A(a,b)$ para cada par de objetos $a,b\in\ob(A)$ (a los objetos de $A(a,b)$ se los llamará flechas —morfismos, 1-morfismos, 1-flechas o 1-celdas— de $A$ con dominio $a$ y codominio $b$; escribiremos $f:a\rightarrow b$ para indicar que $f$ es un objeto de $A(a,b)$; a las flechas de la categoría $A(a,b)$ se las llamará 2-celdas o 2-morfismos, y si $f,g\in A(a,b)$, escribiremos $\alpha:f\Rightarrow g$ o $\alpha:f\rightarrow g$ para indicar que $\alpha$ es una 2-celda con dominio $f$ y codominio $g$; la composición vertical en $A(a,b)$ la denotaremos con $\cdot$, de manera que la composición de $\alpha:f\Rightarrow g$ y $\beta:g\Rightarrow h$ la denotaremos $\beta\cdot\alpha$; la identidad sobre $f$ la denotaremos $1_f$);
- un objeto de $A(a,a)$, la flecha identidad $1_a:a\rightarrow a$, para cada objeto $a\in\ob(A)$;
- un funtor de composición $$\circ_{a,b,c}:A(a,b)\times A(b,c)\rightarrow A(a,c)$$ para cada tripleta de objetos $a,b,c\in\ob(A)$.
Y se cumple que,
- dada $\xymatrix{a \rtwocell^f_g{\alpha} & b}$, se tiene que $f1_a=f$, $\alpha 1_a=\alpha$, $1_bf=f$, $1_b\alpha=\alpha$;
- el diagrama de funtores \begin{equation} \label{assoofcom} \xymatrix{A(a,b)\times A(b,c)\times A(c,d) \ar[d]_{1_{A(a,b)}\times\circ_{b,c,d}}\ar[rrr]^-{\circ_{a,b,c}\times 1_{A(c,d)}} & & & A(a,c)\times A(c,d)\ar[d]^{\circ_{a,c,d}}\\ A(a,b)\times A(b,d) \ar[rrr]_-{\circ_{a,b,d}} & & & A(a,d) } \end{equation} conmuta para toda cuarteta de objetos $a,b,c,d\in\ob(A)$.
Denotaremos la composición horizontal de 1-celdas y 2-celdas con el infijo $\circ$, o simplemente mediante la yuxtaposición; es decir, $gf=g\circ f=\circ_{a,b,c}(f,g)$ y $\beta\alpha=\beta\circ\alpha=\circ_{a,b,c}(\alpha,\beta)$.
Observación 1. El efecto de $\circ_{a,b,c}$ está dado por la composición $$f:a\rightarrow b,g:b\rightarrow c\qquad\mapsto\qquad gf:a\rightarrow c$$ de 1-celdas y por las siguientes composiciones de 1-celdas y 2-celdas: \begin{align} \xymatrix{a \rrtwocell^f_g{\alpha} & & b \ar[r]^h & c} &\mapsto \xymatrix{a \rrtwocell^{hf}_{hg}{\ h\alpha} & & c}\notag\\ \xymatrix{a\ar[r]^f & b \rrtwocell^h_i{\beta} & & c} &\mapsto \xymatrix{a \rrtwocell^{hf}_{if}{\ \beta f} & & c}\notag, \end{align} donde $h\alpha=\circ_{a,b,c}(\alpha,1_h)$ y $\beta f=\circ_{a,b,c}(1_f,\beta)$. Es decir, dadas las 2-celdas $$\xymatrix{a \rrtwocell^f_g{\alpha} & & b \rrtwocell^h_i{\beta} & & c},$$ se tiene que \begin{align} \circ_{a,b,c}(\alpha,\beta) &= \circ_{a,b,c}(\alpha,1_h)\cdot\circ_{a,b,c}(1_g,\beta)\notag\\ &= \circ_{a,b,c}(1_f,\beta)\cdot\circ_{a,b,c}(\alpha,1_i)\notag \end{align} (ver Proposición II.3.1 de
[2]); o sea, el diagrama \begin{equation} \label{intnat} \xymatrix{ hf \ar[r]^{h\alpha} \ar[d]_{\beta f} & hg \ar[d]^{\beta g}\\ if \ar[r]_{i\alpha} & ig } \end{equation} conmuta en la categoría $A(a,c)$: la composición horizontal $\beta\circ\alpha$ es la diagonal común $$(\beta g)\cdot(h\alpha)=(i\alpha)\cdot(\beta f)$$ del diagrama anterior.
Nos referiremos a ejemplos del diagrama conmutativo \eqref{intnat} como casos de naturalidad interna, más específicamente, de naturalidad de $\beta$: en el caso de la 2-categoría $\cat$, la conmutatividad de \eqref{intnat} es una consecuencia de la naturalidad de la transformación natural $\beta$.
Observación. La funtorialidad de $\circ_{a,b,c}:A(a,b)\times A(b,c)\rightarrow A(a,c)$ queda expresada por la ley de intercambio (ver sección II.5 de
[2]). Dadas 2-celdas $$\xymatrix{ a \rruppertwocell^f{\alpha} \rrlowertwocell_h{\beta} \ar[rr]_(.35)g & & b \rruppertwocell^i{\gamma} \rrlowertwocell_k{\delta} \ar[rr]_(.35)j & & c },$$ se tiene que \begin{equation} \label{intchangelaw} (\delta\beta)\cdot (\gamma\alpha) = (\delta\cdot\gamma)(\beta\cdot\alpha), \end{equation} y de aquí tenemos que $$i(\beta\cdot\alpha)=(i\beta)\cdot(i\alpha),\quad (\delta\cdot\gamma)f=(\delta f)\cdot(\gamma f),$$ pues $1_i\cdot 1_i=1_i$, y similarmente para $1_f$.
De \eqref{intchangelaw}, también obtenemos $$i1_f=1_{if}=1_if.$$
Observación. La condición de asociatividad de la composición horizontal queda expresada por el diagrama \eqref{assoofcom} y es, por la
Observación 1, equivalente a lo siguente: dadas 2-celdas como en $$\xymatrix{a \rrtwocell^f_g{\alpha} & & b \rrtwocell^h_i{\beta} & & c \rrtwocell^j_k{\gamma}& & d},$$ se tiene que $$j(h\alpha)=(jh)\alpha,\quad j(\beta f)=(j\beta)f,\quad (\gamma h)f=\gamma(hf).$$
Ejemplo. El ejemplo por antonomasia de una 2-categoría es la 2-categoría $\cat$ de categorías, cuyos objetos son las categorías, cuyas flechas son los funtores y cuyas 2-celdas son las transformaciones naturales.
De esta 2-categoría, se pueden obtener algunas 2-categorías a partir de subcategorías plenas: la 2-categoría $\Cat$ de categorías pequeñas; la 2-categoría $\mon$ de monoides, donde un objeto es un monoide, una flecha un homomorfismo de monoides y una 2-celda $n:f\Rightarrow g:M\rightarrow N$ es un elemento $n\in N$ tal que $n\cdot fm=gm\cdot n$ para todo $m\in M$; la 2-categoría $\copo$ de conjuntos parcialmente ordenados, donde un objeto es un conjunto parcialmente ordenado, una flecha una función monótona y una 2-celda $f\Rightarrow g:X\rightarrow Y$ se tiene si $fx\leq gx$ para todo $x\in X$; es decir, si $f\leq g$.
Ejemplo. La 2-categoría $\rel$ de relaciones, donde un objeto es un conjunto, una flecha $X\rightarrow Y$ una relación $R:X\rightarrow Y$ y se tiene una 2-celda $R\Rightarrow S$ si $R\subseteq S$. Es claro cómo queda dada la composición horizontal entre 2-celdas para $\rel$.
Ejemplo. La 2-categoría $\tp$ con objetos los espacios topológicos, flechas las funciones continuas y 2-celdas las clases de homotopía de homotopías entre funciones continuas. Si no se toman las clases de homotopía de homotopías, la composición vertical no es asociativa.
Es claro que se cumple la ley de intercambio.
Ejemplo. La 2-categoría $\catmon$ de categorías monoidales, funtores monoidales laxos y transformaciones naturales monoidales. De esta, podemos obtener la 2-categoría $\catmonf$ de categorías monoidales, funtores monoidales fuertes y transformaciones naturales monoidales, y la 2-categoría $\catmonfs$ de categorías monoidales, funtores monoidales estrictos y transformaciones naturales monoidales.
De $\catmonf$, obtenemos las 2-categorías $\catpf$ y $\catcpf$ de categorías con productos finitos y coproductos finitos, resp.
Ejemplo. La 2-categoría $\catlf$ de categorías con límites finitos, funtores que preservan límites finitos y transformaciones naturales compatibles con límites finitos.
Ejemplo. Toda 2-categoría con un solo objeto es una categoría monoidal estricta.
Ejemplo. Un 2-grupoide es una 2-categoría en que todo 1-morfismo y todo 2-morfismo son invertibles. Un 2-grupo es un 2-grupoide con un solo objeto.
Ejemplo. La 2-categoría $\adj$ de adjunciones, donde un objeto es una categoría, una flecha $A\rightarrow B$ es una adjunción $F\dashv G:B\rightarrow A$ —es decir, $F:A\rightarrow B$ y $G:B\rightarrow A$; esta es la convención que aparece en
[2]; considerar la 2-categoría $\adj$ nos hace pensar que quizá es más conveniente denotar tales condiciones como $F\dashv G:A\rightarrow B$— y una 2-celda es un par de transformaciones naturales $(\sigma,\tau)$ con $\sigma:F'\Rightarrow F:A\rightarrow B$ y $\tau:G\Rightarrow G':B\rightarrow A$ tales que $$\xymatrix{ A \ar[dr]_F \ar[rr]^1 & & A\rtwocell<\omit>{<4>\tau} \ar[rr]^1 & \rrtwocell<\omit>{<4.5>\epsilon'} & A \ar[dr]^{F'}\ar@{}|{=}[drrr] & & A\ar[rr]^1\ar[dr]_F & \rtwocell<\omit>{<4>\sigma} & A\ar[dr]^{F'} \\ \rrtwocell<\omit>{<-4.5>\eta} & B \ar[ur]_G \ar[rr]_1 & & B \ar[ur]^{G'} \ar[rr]_1 & & B & & B\ar[rr]_1 & & A; }$$ es decir, $\sigma\dashv\tau$, $\sigma$ y $\tau$ son adjuntas (o conjugadas en la terminología de Mac Lane; véase IV.7 en
[2]).
La composición horizontal de 2-celdas queda definida por el pegado de celdas siguiente: $$\xymatrix{ A \ar[dr]_{F_1} \ar[rrrr]^1 & \rrtwocell<\omit>{<3.5>\eta_1} & & & A\ar[rr]^1\rtwocell<\omit>{<3.5> \tau_1} & \rrtwocell<\omit>{<4.5>\epsilon'_1} & A \ar[dr]^{F'_1} & & A\ar[rr]^1\ar[dr]_(.4){F_1} &\rtwocell<\omit>{<3.5>\sigma_1} & A\ar[dr]^{F'_1}\\ & B \ar[dr]_F \ar[rr]^1 & & B \ar[ur]_{G_1}\ar[rr]^1 \rtwocell<\omit>{<3.5>\tau} & & B \ar[ur]^{G'_1} \ar[rr]_1 & & B \ar[dr]^{F'}\ar@{}|{=}[rr] & & B\ar[rr]^1\ar[dr]_(.4)F &\rtwocell<\omit>{<3.5>\sigma} & B\ar[dr]^{F'}\\ & \rrtwocell<\omit>{<-4.5>\eta} & C \ar[ur]_G\ar[rr]_1 & & C \ar[ur]^{G'} \ar[rrrr]_1 & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>\epsilon'} & & & C & & C\ar[rr]_1 & & C. }$$ Es claro cómo ha de ser la composición vertical —notemos, por cierto, que la composición horizontal está dada por el pegado vertical de diagramas y la composición vertical por el pegado horizontal—.
Ejemplo. Las mónadas nos proporcionan varias 2-categorías. La 2-categoría $\mndkl$, donde un objeto es una mónada $(A,T,\eta,\mu)$, una flecha $(A,T,\eta,\mu)\rightarrow(A',T',\eta',\mu')$ es un par $(J,\lambda)$, con $J:A\rightarrow A'$ funtor y $\lambda:JT\Rightarrow T'J$ tales que los siguientes diagramas conmutan: $$\xymatrix{ J\ar[r]^{J\eta}\ar[dr]_{\eta'J} & JT\ar[d]^\lambda & & JTT\ar[r]^{\lambda T}\ar[d]_{J\mu} & T'JT\ar[r]^{T'\lambda} & T'T'J\ar[d]^{\mu'J} \\ & T'J & & JT\ar[rr]_\lambda & & T'J. }$$ Una 2-celda $(J,\lambda)\Rightarrow(J',\lambda')$ es una transformación natural $\Gamma:J'\Rightarrow T'J$ tal que el siguiente diagrama conmuta: $$\xymatrix{ J'T\ar[r]^{\Gamma T}\ar[d]_{\lambda'} & T'JT\ar[r]^{T'\lambda} & T'T'J\ar[d]^{\mu'J}\\ T'J'\ar[r]_{T'\Gamma} & T'T'J\ar[r]_{\mu'J} & T'J. }$$
A las 1-celdas se las llama
Kl-morfismos y a las 2-celdas
Kl-transformaciones. No parece tener un nombre dicha 2-categoría, pero podemos llamarla
la 2-categoría de mónadas de Kleisli.
También se tiene la 2-categoría $\mndem$, donde un objeto es una mónada $(A,T,\eta,\mu)$, una flecha $(A,T,\eta,\mu)\rightarrow(A',T',\eta',\mu')$ es un par $(K,\lambda)$, con $K:A'\rightarrow A$ funtor y $\lambda:TK\Rightarrow KT'$ una transformación natural tales que los siguientes diagramas conmutan: $$\xymatrix{ K\ar[r]^{\eta K}\ar[dr]_{K\eta'} & TK\ar[d]^\lambda & & TTK\ar[r]^{T\lambda}\ar[d]_{\mu K} & TKT'\ar[r]^{\lambda T'} & KT'T'\ar[d]^{K\mu'} \\ & KT' & & TK\ar[rr]_{\lambda} & & KT'. }$$ Una 2-celda $(K,\lambda)\Rightarrow(K',\lambda')$ es una transformación natural $\Gamma:K\Rightarrow K'T'$ tal que el siguiente diagrama conmuta: $$\xymatrix{ TK\ar[r]^\lambda\ar[d]_{T\Gamma} & KT'\ar[r]^{\Gamma T'} & K'T'T'\ar[d]^{K'\mu'} \\ TK'T'\ar[r]_{\lambda'T'} & K'T'T'\ar[r]_{K'\mu'} & K'T'. }$$
A las 1-celdas se las llama
EM-morfismos y a las 2-celdas
EM-transformaciones. Esta 2-categoría tampoco tiene nombre, pero podemos llamarla
la 2-categoría de mónadas de Eilenberg-Moore.
Dada una categoría $C$, se tiene la 2-categoría $\mnd(C)$ de mónadas sobre $C$, donde un objeto es una mónada $(T,\eta,\mu)$, una 1-celda es una transformación natural $\tau:T\Rightarrow T'$ tal que los siguientes diagramas conmutan: $$\xymatrix{ 1_C\ar[r]^\eta\ar[dr]_{\eta'} & T\ar[d]^\tau & & TT\ar[r]^{\tau\tau}\ar[d]_\mu & T'T'\ar[d]^{\mu'}\\ & T' & & T\ar[r]_\tau & T', }$$ y una 2-celda $\tau\Rightarrow\tau':(T,\eta,\mu)\rightarrow(T',\eta',\mu')$ es una transformación natural $\Gamma:1_C\Rightarrow T'$ tal que el siguiente diagrama conmuta: $$\xymatrix{ T\ar[r]^{\Gamma\tau}\ar[d]_{\tau'\Gamma} & T'T'\ar[d]^{\mu'} \\ T'T'\ar[r]_{\mu'} & T'. }$$
Para ver más ejemplos de 2-categorías cuyos objetos son las mónadas, véase
[1].
Ejemplo. Sea $K$ una 2-categoría y sea $(a,t,\eta,\mu)$ una mónada en $K$; es decir, $a$ es un objeto de $K$, $t:a\rightarrow a$ es una 1-celda de $K$ y $\eta:1_a\Rightarrow t, \mu:tt\Rightarrow t$ son 2-celdas de $K$ tales que satisfacen los axiomas típicos de una mónada.
Un álgebra izquierda de $(a,t,\eta,\mu)$ es un par $(r,\nu)$ con $r$ una 1-celda y $\nu$ una 2-celda $$\xymatrix{ b\ar[r]^r\ar[dr]_r \drtwocell<\omit>{<-1.8>\nu} & a\ar[d]^t\\ & a }$$ tales que los siguientes diagramas conmutan: $$\xymatrix{ r\ar[r]^{\eta r}\ar[dr]_1 & tr\ar[d]^\nu & & ttr\ar[r]^{t\nu}\ar[d]_{\mu r} & tr\ar[d]^\nu \\ & r & & tr\ar[r]_\nu & r. }$$ Dadas dos álgebras izquierdas de $t$ $$\xymatrix{ b\ar[r]^r\ar[dr]_r\drtwocell<\omit>{<-1.8>\nu} & a\ar[d]^t & & c\ar[r]^s\ar[dr]_s\drtwocell<\omit>{<-1.8>\tau} & a\ar[d]^t\\ & a & & & a, }$$ una 2-celda $$\xymatrix{ b\ar[r]^f\ar[dr]_r & c\ar[d]^s\\ & a\utwocell<\omit>{<-1.6>\xi} }$$ de $K$ es un morfismo de álgebras izquierdas de $(r,\nu)$ a $(s,\tau)$ si $$\xymatrix{ b\ar[r]^r\ar[d]_f\rtwocell<\omit>{<1.4>\xi} & a\ar[d]^t\ar[d]^t\ar@{}|{=}[dr] & b\ar[r]^r\ar[dr]_(.4)r\ar[d]_f\rtwocell<\omit>{<1.7>\nu} & a\ar[d]^t \\ c\ar[ur]_(.6)s\ar[r]_s\rtwocell<\omit>{<-1.6>\tau} & a & c\ar[r]_s\rtwocell<\omit>{<-1.3>\xi} & a. }$$ Un 2-morfismo de morfismos de álgebras izquierdas $(f,\xi)\Rightarrow(f',\xi'):(r,\nu)\rightarrow(s,\tau)$ es una 2-celda $\vartheta:f\Rightarrow f'$ de $K$ tal que $$\xymatrix{ b\ar[r]_(.42)f\ar[dr]_r\ar@/^1.5pc/[r]^{f'} & c\ar[d]^s\ar@{}|{=}[rr]\ltwocell<\omit>{<1.8>\vartheta} & & b\ar[r]^{f'}\ar[dr]_r & c\ar[d]^s \\ & a\ultwocell<\omit>{<1.8>\xi} & & & a\ultwocell<\omit>{<1.8>\xi'} }$$
Tenemos entonces una 2-categoría $\algi(a,t,\eta,\mu)$ de álgebras izquierdas de $(a,t,\eta,\mu)$. Esta 2-categoría es una generalización de la categoría de álgebras izquierdas de una mónada en una 2-categoría. Esta 2-categoría se definió al final de esta
plática.
Dualmente, se tiene la 2-categoría $\algd(a,t,\eta,\mu)$ de álgebras derechas de $(a,t,\eta,\mu)$.
Ejemplo. Denote $\R^\ast$ el conjunto de los números reales sin el cero. El producto cartesiano $R^\ast\times\R^\ast$ es una 2-categoría con un producto horizontal dado como $$(x,y)h(u,w):=(\sign(u)x,\sign(y)w),$$ el cual está definido cuando $|u|=|y|$, y un producto vertical dado por $$(x,y)v(u,w):=(x,w),$$ el cual está definido cuando $|x|=|u|$, $|y|=|w|$, $\sign(y)=\sign(u)$.
Los 1-morfismos (los cuales son las unidades respecto al producto vertical) son los elementos $(x,y)\in\R^\ast\times\R^\ast$ tales que $\sign(x)=\sign(y)$. Los 0-morfismos (los objectos de $\R^\ast\times\R^\ast$) son las unidades con respecto al producto horizontal, es decir, los elementos $(x,x)\in\R^\ast\times\R^\ast$ con $x>0$. Por ejemplo, tenemos la 2-celda $$\xymatrix{ (x,x)\rrtwocell^{(x,y)}_{(-x,-y)}{\ \ \quad(x,-y)} & & (y,y), }$$ donde $x,y\in\R$ y $x,y>0$.
Este ejemplo lo dio Citrad Klimcik en
math.stackexchange.
Seudofuntores y 2-funtores
Definición 1. Sean $A$ y $B$ 2-categorías. Un seudofuntor $\Phi:A\rightarrow B$ consiste de
- una función sobre objetos $\ob(A)\rightarrow\ob(B)$ (que también denotaremos $\Phi$);
- un funtor $$\Phi_{a,b}:A(a,b)\rightarrow B(\Phi a,\Phi b)$$ para cada par de objetos $a,b\in\ob(A)$ (y escribiremos $\Phi f$ para $\Phi_{a,b}f$ y $\Phi\alpha$ para $\Phi_{a,b}\alpha$, así que para la 2-celda $$\xymatrix{a \rrtwocell^f_g{\alpha} & & b},$$ se tiene $$\xymatrix{\Phi a \rrtwocell^{\Phi f}_{\Phi g}{\quad \Phi\alpha} & & \Phi b},$$ y la funtorialidad de $\Phi_{a,b}$ queda expresada por las identidades $$\Phi 1_f=1_{\Phi f},\quad \Phi(\beta\cdot\alpha)=\Phi\beta\cdot\Phi\alpha);$$
- un isomorfismo $\Phi_a: 1_{\Phi a}\overset{\cong}{\longrightarrow}\Phi 1_a$ para cada objeto $a\in\ob(A)$;
- un isomorfismo de funtores $$\xymatrix{ A(a,b)\times A(b,c) \ar[rr]^-{\circ_{a,b,c}} \ar[d]_{\Phi_{a,b}\times\Phi_{b,c}} & & A(a,c)\ar[d]^{\Phi_{a,c}}\\ B(\Phi a,\Phi b)\times B(\Phi b,\Phi c) \ar[rr]_-{\circ_{\Phi a,\Phi b,\Phi c}} & \utwocell<\omit>{<-2>\Phi_{a,b,c}}& B(\Phi a,\Phi c) }$$ (dadas las 1-celdas $f:a\rightarrow b$ y $g:b\rightarrow c$, escribiremos $\Phi^{f,g}$ para $\Phi_{a,b,c}(f,g)$, así que $\Phi^{f,g}:(\Phi g)(\Phi f)\overset{\cong}{\longrightarrow}\Phi(gf)$; si los isomorfismos $\Phi^{f,g}$ son todos identidades, diremos que $\Phi$ es un 2-funtor); es decir, dadas dos 2-celdas $$\xymatrix{ a \rrtwocell^f_g{\alpha} & & b \rrtwocell^h_k{\beta} & & c },$$ el siguiente diagrama conmuta: \begin{equation} \label{D:compisopseudofunctor} \xymatrix{ \Phi h\Phi f \ar[r]^{\Phi^{f,h}} \ar[d]_{\Phi\beta\Phi\alpha} & \Phi(hf) \ar[d]^{\Phi(\beta\alpha)} \\ \Phi k\Phi g \ar[r]_{\Phi^{g,k}} & \Phi(kg) }. \end{equation} Y se cumple que,
- si $f:a\rightarrow b$ en $A$, entonces $$\xymatrix{ \Phi a \rrtwocell^{1_{\Phi a}}_{\Phi 1_a}{\ \Phi_a} & & \Phi a \rrtwocell^{\Phi f\Phi 1_a}_{\Phi f}{} \ar@{}[rr]|(0.68){\Phi^{1_a,f}}& & \Phi b }=1_{\Phi f\Phi 1_a}$$ y $$\xymatrix{ \Phi a \rrtwocell^{\Phi 1_b\Phi f}_{\Phi f}{} \ar@{}[rr]|(0.68){\Phi^{f,1_b}} & & \Phi b \rrtwocell^{1_{\Phi b}}_{\Phi 1_b}{\ \Phi_b} & & \Phi b }=1_{\Phi 1_b\Phi f};$$
- dadas $a\overset{f}{\rightarrow}b\overset{g}{\rightarrow}c\overset{h}{\rightarrow}d$ en $A$, $$ \xymatrix{ & \Phi b \ar[r]^{\Phi g} & \Phi c \ar[rd]^{\Phi h} & \ar@{}|{=}[dr]& & \Phi b \ar[r]^{\Phi g } \ar@/_0.5pc/[drr]_{\Phi(hg)} \drrtwocell<\omit>{<-0.2>\quad\Phi^{g,h}}& \Phi c \ar[dr]^{\Phi h} & \\ \Phi a \ar[ur]^{\Phi f} \ar@/_0.5pc/[urr]_{\phi(gf)} \ar@/_0.3pc/[rrr]_{\Phi(hgf)} \urrtwocell<\omit>{<-1>\quad\Phi^{f,g}} & \rrtwocell<\omit>{<-2>\ \quad\Phi^{gf,h}}& & \Phi d & \Phi a \ar[ur]^{\Phi f}\ar@/_0.3pc/[rrr]_{\Phi(hgf)} \rrtwocell<\omit>{<-2>\Phi^{f,hg}\ \quad\qquad}& & & \Phi d }.$$
Observación. Las igualdades en (v) de la definición anterior son equivalentes a la conmutatividad de los siguientes diagramas, respectivamente: $$\xymatrix{ \Phi f\Phi 1_a \ar[rr]^{\Phi^{1_a,f}} \ar[dr]_1 & & (\Phi f) 1_{\Phi a} \ar[dl]^{\Phi f\Phi_a}\\ & \Phi f\Phi 1_a & }$$ y $$\xymatrix{ \Phi 1_b\Phi f \ar[rr]^{\Phi^{f,1_b}} \ar[dr]_1 & & 1_{\Phi b}(\Phi f) \ar[dl]^{\Phi_b\Phi f}\\ & \Phi 1_b\Phi f & }.$$
La igualdad en (vi) es equivalente a la conmutatividad del siguiente diagrama: \begin{equation} \label{asopseudofunctor} \xymatrix{ \Phi h\Phi g\Phi f \ar[rr]^{\Phi h\Phi^{f,g}} \ar[d]_{\Phi^{g,h}\Phi f}& & \Phi h\Phi(gf) \ar[d]^{\Phi^{gf,h}}\\ \Phi(hg)\Phi f \ar[rr]_{\Phi^{f,hg}} & & \Phi(hgf) }. \end{equation}
Definción. Si $A\overset{\Phi}{\rightarrow}B\overset{\Psi}{\rightarrow}C$ son seudofuntores de 2-categorías, definimos su composición $\Psi\Phi:A\rightarrow C$ como sigue: para $$\xymatrix{a \rrtwocell^f_g{\alpha} & & b \ar[rr]^h & & c},$$ hacemos \begin{align} (\Psi\Phi) a &=\Psi(\Phi a)\notag,\\ (\Psi\Phi) f &=\Psi(\Phi f)\notag,\\ (\Psi\Phi)\alpha &=\Psi(\Phi\alpha)\notag. \end{align} Y $(\Psi\Phi)_a=\Psi\Phi_a\cdot\Psi_{\Phi a}$; es decir, $(\Psi\Phi)_a$ es $$\xymatrix{ \Psi\Phi a \ar@/^2pc/[rr]^{1_{\Psi\Phi a}}\rrtwocell<\omit>{<-2>\quad\Psi_{\Phi a}} \ar@/_2pc/[rr]_{\Psi\Phi 1_a} \rrtwocell<\omit>{<2>\quad\Psi\Phi_a} \ar[rr]^(.30){\Psi 1_{\Phi a}} & & \Psi\Phi a },$$ y $(\Psi\Phi)^{f,h}=\Psi\Phi^{f,h}\cdot\Psi^{\Phi f,\Phi h}$; o sea, $(\Psi\Phi)^{f,h}$ es $$\xymatrix{ \Psi\Phi a \ar@/^2pc/[rrrr]^{(\Psi\Phi h)(\Psi\Phi f)} \ar[rrrr]^(0.3){\Psi(\Phi h\Phi f)} \ar@/_2pc/[rrrr]_{\Psi\Phi(hf)} & \rrtwocell<\omit>{<-2>\quad\quad\Psi^{\Phi f,\Phi h}} \rrtwocell<\omit>{<2>\quad\quad\Psi\Phi^{f,h}} & & & \Psi\Phi c }.$$
Es fácil ver que tal composición es asociativa.
Ejemplo. Dada cualquier categoría $C$, se tiene que $(-)^C:\cat\rightarrow\cat$ es un 2-funtor; más aún, es una 2-mónada.
Ejemplo. Una adjunción $\bar{\eta},\bar{\epsilon},F\dashv G:C\rightarrow C'$ entre categorías induce un 2-funtor $\mnd(F\dashv G):\mnd(C')\rightarrow\mnd(C)$, el cual queda dado de la siguiente manera. Dada $(T,\eta,\mu)$, $\mnd(F\dashv G)(T,\eta,\mu)$ tiene como endofuntor a $GTF$, como unidad a $$\xymatrix{ C\ar[r]_F\ar@/^2.5pc/[rrr]^1\rrtwocell<\omit>{<-3.2>\bar{\eta}} & C'\rtwocell^{1_{C'}}_T{\eta} & C'\ar[r]_G & C }$$ y como multiplicación a $$\xymatrix{ & & C'\ar[dr]^F & & \\ & C'\ar[ur]^G\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\bar{\epsilon}} & & C'\ar[d]^T & \\ C\ar[r]_F & C'\ar[rr]_T\ar[u]^T\rrtwocell<\omit>{<-3.5>\mu} & & C'\ar[r]_G & C. }$$
Dado un morfismo de mónadas $\tau:(T,\eta,\mu)\rightarrow(T,\eta',\mu')$, $\mnd(F\dashv G)(\tau)$ es simplemente $G\tau F$.
Dada una transformación de morfismos de mónadas $\Gamma:\tau\Rightarrow\tau':(T,\eta,\mu)\rightarrow(T',\eta',\mu')$, $\mnd(F\dashv G)(\Gamma)$ se define como $$\xymatrix{ C\ar[r]_F\ar@/^2.5pc/[rrr]^1\rrtwocell<\omit>{<-3.2>\bar{\eta}} & C'\rtwocell^{1_{C'}}_{T'}{\Gamma} & C'\ar[r]_G & C. }$$
Ejemplo. Definamos a $\cofam$ un 2-funtor $\Cat\rightarrow\catpf$ como sigue. Un objeto en $\cofam(A)$ es una familia finita $\langle a_i\rangle_{i\in I}$ de objetos de $A$. Un morfismo $\langle a_i\rangle_{i\in I}\rightarrow\langle b_j\rangle_{j\in J}$ en $\cofam(A)$ es un par $(\varphi,f)$ donde $\varphi$ es una función $J\rightarrow I$ y $f$ es una familia de morfismos $\langle f_j:a_{\varphi j}\rightarrow b_j\rangle_{j\in J}$ en $A$.
Dado un funtor $F:A\rightarrow B$, $$\cofam(F)(\xymatrix{\langle a_i\rangle_{i\in I}\ar[r]^{(\varphi,f)} & \langle b_j\rangle_{j\in J}}):=\xymatrix{\langle Fa_i\rangle_{i\in I}\ar[r]^{(\varphi,Ff)} & \langle Fb_j\rangle_{j\in J},}$$ y dada una transformación natural $\gamma:F\Rightarrow G:A\rightarrow B$, $$\cofam(\gamma)\langle a_i\rangle_{i\in I}:=(1_I,\langle\gamma a_i:Fa_i\rightarrow Ga_i\rangle_{i\in I}).$$
Ejemplo. Definamos a $\monsim$ un 2-funtor $\Cat\rightarrow\catmonsim$, donde $\catmonsim$ es la 2-categoría de categorías monoidales simétricas, como sigue. Un objeto de $\monsim(A)$ es una tupla $(a_1,\ldots,a_n)$ de objetos de $A$. Un morfismo $(a_1,\ldots,a_n)\rightarrow(b_1,\ldots,b_n)$ es un par $(\sigma,f)$ donde $\sigma\in S_n$ y $f$ es una tupla de morfismos $(f_i:a_i\rightarrow b_{\sigma i})_{1\leq i\leq n}$ en $A$. El producto tensorial en los morfismos se define usando el encaje $S_n\times S_m\hookrightarrow S_{n+m}$.
Es claro cómo queda definido $\monsim$ en los funtores y las transformaciones naturales.
Transformaciones naturales
Definición 2. Sean $A$ y $B$ 2-categorías y $\Phi,\Psi:A\rightarrow B$ seudofuntores. Una transformación natural laxa $t:\Phi\rightarrow\Psi$ consiste de
- una 1-celda $t_a:\Phi a\rightarrow\Psi a$ para cada objeto $a\in\ob(A)$;
- una 2-celda $$\xymatrix{ \Phi a \ar[r]^{t_a} \ar[d]_{\Phi f} \dtwocell<\omit>{<-4.5>\ \ t_f} & \Psi a \ar[d]^{\Psi f}\\ \Phi b \ar[r]_{t_b} & \Psi b }$$ para cada 1-celda $f:a\rightarrow b$ en $A$.
Y cumple que
- $$\xymatrix{ \Phi a \ar[rr]^{t_a} \ar@/^1pc/[d]^{\Phi f} \ar@/_1pc/[d]_{\Phi g} \dtwocell<\omit>{\Phi\alpha} \dtwocell<\omit>{<-9>\ \ t_f} & & \Psi a \ar[d]^{\Psi f} \ar@{}|{=}[drr] & & \Phi a \ar[rr]^{t_a} \ar[d]_{\Phi g} \dtwocell<\omit>{<-5>\ \ t_g} & & \Psi a \ar@/^1pc/[d]^{\Psi f} \ar@/_1pc/[d]_{\Psi g} \dtwocell<\omit>{\Psi\alpha} \\ \Phi b \ar[rr]_{t_b} & & \Psi b & & \Phi b \ar[rr]_{t_b} & & \Psi b }$$ para toda 2-celda $\xymatrix{a \rtwocell^f_g{\alpha} & b}$;
- $$\xymatrix{ \Phi a \ar[dd]_{\Phi(gf)} \ar[r]^{t_a} \ar[dr]^{\Phi f} \ddtwocell<\omit>{<-4>\Phi^{f,g}} & \Psi a \dtwocell<\omit>{<-.6>\ \ t_f} \ar[dr]^{\Psi f} & & \Phi a \ar[r]^{t_a} \ar[dd]_(.7){\Phi(gf)} & \Psi a \ar[dd]_(.3){\Psi(gf)} \ar[dr]^{\Psi f} \ddtwocell<\omit>{<5>t_{gf}} & \ddtwocell<\omit>{<5>\Psi^{f,g}}\\ & \Phi b \ar[r]^{t_b} \ar[dl]^{\Phi g} \dtwocell<\omit>{\ \ t_g}& \Psi b \ar[dl]^{\Psi g} \ar@{}|{=}[r] & & & \Psi b \ar[dl]^{\Psi g} \\ \Phi c \ar[r]_{t_c} & \Psi c & & \Phi c \ar[r]_{t_c} & \Psi c & }$$ para cualesquiera 1-celdas $a\overset{f}{\rightarrow}b\overset{g}{\rightarrow}c$;
- $$\xymatrix{ \Phi a \ar[rr]^{t_a} \ar[d]_{\Phi 1_a} \dtwocell<\omit>{<-5>t_{1_a}} & & \Psi a \ar@/^1pc/[d]^{1_{\Psi a}} \ar@/_1pc/[d]_{\Psi 1_a} \dtwocell<\omit>{\Psi_a} \ar@{}|{=}[drr] & & \Phi a \ar@/^1pc/[d]^{1_{\Phi a}} \ar@/_1pc/[d]_{\Phi 1_a} \dtwocell<\omit>{\Phi_a} & & \\ \Phi a \ar[rr]_{t_a} & & \Psi a & & \Phi a \ar[rr]_{t_a} & & \Psi a }$$ para todo $a\in\ob(A)$.
Se dice que la transformación $t$ es seudonatural (o fuerte) si $t_f$ es un isomorfismo y estricta 2-natural si es una identidad para toda 1-celda $a\overset{f}{\rightarrow}b$.
Modificaciones
Definición. Sean $A$ y $B$ 2-categorías, $\Phi,\Psi:A\rightarrow B$ seudofuntores y $t,u:\Phi\rightarrow\Psi$ transformaciones naturales laxas. Una modificación $\mu:t\rightarrow u$ consiste de
- una familia $\langle\mu_a\rangle_{a\in\ob(A)}$ de 2-celdas $\mu_a:t_a\rightarrow u_a$ tal que
- $$\xymatrix{ \Phi a \rtwocell^{t_a}_{u_a}{\ \mu_a} \ar[d]_{\Phi f} & \Psi a \ar[d]^{\Psi f} \ar@{}|{=}[drr] & & \Phi a \ar[r]^{t_a} \ar[d]_{\Phi f} \rtwocell<\omit>{<2.3>\ t_f}& \Psi a \ar[d]^{\Psi f}\\ \Phi b \ar[r]_{u_b} \rtwocell<\omit>{<-2.3>\ u_f}& \Psi b & & \Phi b \rtwocell^{t_b}_{u_b}{\ \mu_b} & \Psi b }$$ para toda 1-celda $f:a\rightarrow b$.
Homo-2-categorías y homoseudofuntores
Definición. Sean $A$ y $B$ 2-categorías. Definimos entonces $\h(A,B)$ como la 2-categoría cuyos objetos son los seudofuntores $A\rightarrow B$, cuyas 1-celdas son las transformaciones naturales laxas entre estos seudofuntores y cuyas 2-celdas son las modificaciones entre estas transformaciones. Definimos la composición entre transformaciones en $\h(A,B)$ como sigue: sean $\Phi,\Psi,\Theta:A\rightarrow B$ seudofuntores y $\Phi\overset{t}{\rightarrow}\Psi\overset{u}{\rightarrow}\Theta$ transformaciones. Entonces, dado $a\in\ob(A)$, definimos $$(ut)_a:=u_at_a$$ y, dada $f:a\rightarrow b$, $$(ut)_f:=(u_bt_f)\cdot(u_ft_a).$$ Definimos la composición vertical y horizontal entre modificaciones. Sean $\mu$ y $\nu$ modificaciones en la siguiente configuración: $$\xymatrix{ A\ar@/^1.5pc/[rrrr]^\Phi\ar@/_1.5pc/[rrrr]_\Psi & \Downarrow \scriptsize{t}\ar[r]^\mu & \Downarrow \scriptsize{u}\ar[r]^\nu & \Downarrow\scriptsize{v} & B. }$$ Definimos su composición vertical como $(\nu\cdot\mu)_a=\nu_a\cdot\mu_a$. Sean $\mu$ y $\nu$ modificaciones en la siguiente configuración: $$\xymatrix@R=.3cm{ &\Downarrow \scriptsize{t}\ar[r]^\mu & \Downarrow \scriptsize{u} & \\ A\ar@/^4pc/[rrr]^\Phi\ar[rrr]^\Psi\ar@/_4pc/[rrr]_\Theta & & & B.\\ & \Downarrow \scriptsize{v}\ar[r]^\nu & \Downarrow \scriptsize{w} & }$$ Definimos su composición horizontal como $(\nu\mu)_a=\nu_a\mu_a$, y $(\nu t)_a=\nu_at_a$.
Definición. Sean $A,B,C$ 2-categorías y $A\overset{\Phi}{\rightarrow}B\overset{\Psi}{\rightarrow}C$ seudofuntores. Se tienen los siguientes seudofuntores.
\begin{align} \h(\Phi,C):\h(B,C) &\rightarrow\h(A,C)\notag\\ \Theta &\mapsto \Theta\Phi\notag\\ t:\Theta\rightarrow\Theta'&\mapsto t\Phi\notag\\ \mu:t\rightarrow u &\mapsto \mu\Phi\notag, \end{align} donde \begin{align} (t\Phi)_a&=t_{\Phi a}\notag\\ (t\Phi)_f&=t_{\Phi f}\notag \end{align} y $$(\mu\Phi)_a=\mu_{\Phi a};$$ todos los isomorfismos $\h(\Phi,C)_{\Theta}$ y $\h(\Phi,C)^{t,u}$ son identidades, así que $\h(\Phi,C)$ es un 2-funtor.
\begin{align} \h(A,\Psi):\h(A,B) &\rightarrow\h(A,C)\notag\\ \Theta &\mapsto\Psi\Theta\notag\\ t:\Theta\rightarrow\Theta' &\mapsto\Psi t\notag\\ \mu:t\rightarrow u &\mapsto\Psi\mu\notag, \end{align} donde \begin{align} (\Psi t)_a&=\Psi t_a\notag\\ (\Psi t)_f&=(\Psi^{\Theta f,t_b})^{-1}\cdot\Psi t_f\cdot\Psi^{t_a,\Theta'f}\notag, \end{align} es decir, $(\Psi t)_f$ es la composición $$\xymatrix{ \Psi\Theta a \rrtwocell^{\Psi(\Theta'f t_a)}_{\Psi(t_b\Theta f)}{\quad\Psi t_f} \ar@/^4pc/[rr]^{\Psi\Theta'f\Psi t_a} \rtwocell<\omit>{<-5.5>\ \qquad\Psi^{t_a,\Theta'f}} \ar@/_4pc/[rr]_{\Psi\Theta f\Psi t_b} \rtwocell<\omit>{<5.5>\ \quad\qquad(\Psi^{\Theta f,t_b})^{-1}}& & \Psi\Theta'b },$$ y $$(\Psi\mu)_a=\Psi\mu_a;$$ todos los isomorfismos $\h(A,\Psi)_{\Theta}$ son identidades y los isomorfismos $\h(A,\Psi)^{t,u}:\Psi u\cdot\Psi t\rightarrow\Psi(u\cdot t)$ (que son modificaciones en este caso) están definidos como $$(\h(A,\Psi)^{t,u})_a=\Psi^{t_a,u_a}.$$
Observación. En efecto, $\Psi\mu$ es una 2-celda $\Psi t\Rightarrow\Psi u:\Psi\Theta\rightarrow\Psi\Theta'$ en $\h(A,C)$, es decir, una modificación $\Psi t\rightarrow\Psi u:\Psi\Theta\Rightarrow\Psi\Theta':A\rightarrow C$. Por \eqref{D:compisopseudofunctor}, \begin{equation} \label{cipf} \Psi^{u_a,\Theta'f}\cdot\Psi\Theta'f\Psi\mu_a=\Psi(\Theta'f\mu_a)\cdot\Psi^{t_a,\Theta'f} \end{equation} y, por definición de $\mu$, \begin{equation} \label{mod} \Psi u_f\cdot\Psi(\Theta'f\mu_a)=\Psi(\mu_b\Theta f)\cdot\Psi t_f. \end{equation} Así que de \eqref{cipf} y \eqref{mod}, se tiene que \begin{align} (\Psi^{\Theta f,u_b})^{-1}\cdot\Psi u_f\cdot\Psi^{u_a,\Theta'f}\cdot\Psi\Theta'f\Psi\mu_a &= (\Psi^{\Theta f,u_b})^{-1}\cdot\Psi u_f\cdot\Psi(\Theta'f\mu_a)\cdot\Psi^{t_a,\Theta'f}\notag\\ &= (\Psi^{\Theta f,u_b})^{-1}\cdot\Psi(\mu_b\Theta f)\cdot\Psi t_f\cdot\Psi^{t_a,\Theta'f}\notag\\ &= \Psi\mu_b\Psi\Theta f\cdot(\Psi^{\Theta f,t_b})^{-1}\cdot\Psi t_f\cdot\Psi^{t_a,\Theta'f}\notag. \end{align}