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CINVCAT |
$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}\newcommand{\mon}{\mathbf{Mon}} \newcommand{\ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\an}{\mathbf{An}}$ La ley distributiva usual de la multiplicación sobre la adición, $$(x_1+x_2)(y_1+y_2)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2,$$ combina la estructura matemática de grupo abeliano y la de monoide para producir la estrutura matemática más interesante y compleja de anillo con unidad. Consideremos este hecho desde el punto de vista de las mónadas. Sea $(S,\eta',\mu')$ la mónada monoide libre sobre $\con$ y $(T,\eta,\mu)$ la mónada grupo abeliano libre también sobre $\con$. Entonces, $\con^S\cong\mon$ y $\con^T\cong\ab$; esto lo podemos verificar usando el Teorema de Beck o de manera directa. Optemos por esta última, después de todo no es tan difícil hacerlo.
Se tiene que $S$ es la mónada inducida por la adjunción $\eta',\epsilon':F'\dashv G':\mon\rightarrow\con$, donde $G':\mon\rightarrow\con$ es el funtor olvidadizo y $F':\con\rightarrow\mon$ el funtor monoide libre generado por un conjunto: $S$ es la mónada $(G'F',\eta',G\epsilon'F)$. Entonces, dado $X\in\con$, la unidad está definida como $$\xymatrix{ X\ar[r]^(.45){\eta'X} & SX }$$ $$\xymatrix{ x\ar@{|->}[r] & x }\quad$$ y, dado un monoide $M$, la counidad como $$\xymatrix{ F'G'M\ar[r]^(.55){\epsilon' M} & M }$$ $$\qquad\qquad\ \xymatrix{ m_1\cdots m_n\ar@{|->}[r] & m_1\odot\cdots\odot m_n, }$$ donde $\odot$ denota el producto en el monoide $M$; en $F'G'M$, el producto es simplemente la yuxtaposición. Sea $(X,h:SX\rightarrow X)$ una $S$-álgebra: los diagramas $$\xymatrix{ X\ar[r]^{\eta'X}\ar[dr]_1 & SX\ar[d]^h & & SSX\ar[r]^{Sh}\ar[d]_{\mu'X} & SX\ar[d]^h\\ & X & & SX\ar[r]_h & X }$$ conmutan. De donde, $h$ induce una operación binaria sobre $X$ definida como $$x_1\odot x_2:=h(x_1x_2),$$ la cual hace de $X$ un monoide. Recíprocamente, dado un monoide $(M,\odot)$, podemos definir una estructura de $S$-álgebra sobre $G'M$ de la siguiente manera: dada la palabra $m_1\cdots m_n$ en $G'F'G'M$, definimos $$h(m_1\cdots m_n):=m_1\odot\cdots\odot m_n,$$ la cual está bien definida por la asociatividad de $\odot$ y es la identidad en las palabras de longitud 1. Es claro que $h$ hace de $G'M$ una $S$-álgebra. Tales funciones $\con^S\rightarrow\mon$ y $\mon\rightarrow\con^S$ son funtoriales y son inversa una de la otra.
Similarmente, podemos mostrar que $\con^T\cong\ab$.
Ahora, dado un conjunto $X$, la ley distributiva usual de la multiplicación sobre la adición se puede interpretar como una transformación natural $$\xymatrix{STX\ar[r]^{\lambda X} & TSX}\qquad\qquad\qquad\ \ \;$$ $$\xymatrix{ \prod_{i=1}^k\sum_{j_i=1}^{n_i}m_{ij_i}x_{ij_i}\ar@{|->}[r] & \sum_{j_1=1}^{n_1}\cdots\sum_{j_k=1}^{n_k}\prod_{i=1}^km_{ij_i}\prod_{i=1}^kx_{ij_i}. }$$ Consideremos entonces la mónada $(TS,\eta S\cdot\eta',\mu S\cdot TT\mu'\cdot T\lambda S)$; la composición $\eta S\cdot\eta'=\eta\eta'$ es una inclusión y la composición $\mu S\cdot TT\mu'\cdot T\lambda S$ simplemente distribuye la multiplicación sobre la adición, multiplica lo que hay que multiplicar y finalmente suma todo, al considerar sumas de productos de sumas de productos. Llamemos $m$ a esta última composición. La conmutatividad de $$\xymatrix{ TSX\ar[rr]^(.45){TS\eta\eta'X}\ar[drr]_1 & & TSTSX\ar[d]^{mX} & & TSX\ar[ll]_(.43){\eta\eta'TSX}\ar[dll]^1\\ & & TSX }$$ es obvia. Como es lo mismo distribuir de adentro hacia afuera que de afuera hacia adentro, se tiene la conmutatividad de $$\xymatrix{ TSTSTSX\ar[rr]^(.55){TSmX}\ar[d]_{mTSX} & & TSTSX\ar[d]^m\\ TSTSX\ar[rr]_m & & TSX. }$$ Sea ahora $(X,\alpha:TSX\rightarrow X)$ una $TS$-álgebra. Al igual que en el caso de $S$, de la conmutatividad de los diagramas $$\xymatrix{ X\ar[r]^(.45){\eta\eta'X}\ar[dr]_1 & TSX\ar[d]^\alpha & TSTSX\ar[r]^(.55){TS\alpha}\ar[d]_{mX} & TSX\ar[d]^\alpha\\ & X & TSX\ar[r]_\alpha & X, }$$ $\alpha$ induce dos operaciones $\odot$ y $\oplus$ sobre $X$ que hacen de $X$ un anillo con unidad (en el diagrama derecho, el recorrido superior izquierdo nos da producto de sumas y el derecho inferior la distributividad de ese producto de sumas), y recíprocamente, dado un anillo con unidad $(A,\oplus,\odot,1)$, sus operaciones $\odot$ y $\oplus$ inducen una estructura de $TS$-álgebra sobre $GA$, donde $G:\an\rightarrow\con$ es el funtor olvidadizo. Luego, $\con^{TS}\cong\an$.
Así que desde el punto de vista de las mónadas, una ley distributiva proporciona una manera de intercambiar dos tipos de operaciones y hacer la composición funtorial de dos mónadas en una mónada más compleja.
La equivalencia esbozada arriba es cierta en general: los conceptos de ley distributiva y de mónada compuesta son equivalentes. Tal hecho lo demostró Jonathan Mock Beck (más conocido como Jon Beck) en [1]. Ahí también demuestra la equivalencia entre ley distributiva y otro concepto más, el de levantamiento de una mónada a la categoría de álgebras de otra.
He aquí las definiciones precisas de ley distributiva y mónada compuesta.
Definición. Dadas dos mónadas $(S,\eta',\mu'),(T,\eta,\mu)$ sobre $A$, una ley distributiva de $(S,\eta',\mu')$ sobre $(T,\eta,\mu)$ es una transformación natural $\lambda:ST\Rightarrow TS$ tal que los siguientes diagramas conmutan: \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ST\ar[dd]^\lambda\\ T\ar[ru]^{\eta'T}\ar[dr]_{T\eta'} & \\ & TS, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\eta'$ (CuS)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ST\ar[dd]^\lambda\\ S\ar[ur]^{S\eta}\ar[dr]_{\eta S} &\\ & TS, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\eta$ (CuT)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ SST\ar[r]^{S\lambda}\ar[d]_{\mu'T} & STS\ar[r]^{\lambda S} & TSS\ar[d]^{T\mu'}\\ ST\ar[rr]_\lambda & & TS, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\mu'$ (CmS)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ STT\ar[r]^{\lambda T}\ar[d]_{S\mu} & TST\ar[r]^{T\lambda} & TTS\ar[d]^{\mu S}\\ ST\ar[rr]_\lambda & & TS. }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\mu$ (CmT)}\notag \end{equation} A CuS y a CmS lo llamamos la compatibilidad de $\lambda$ con $(S,\eta',\mu')$ y a CuT y CmT, con $(T,\eta,\mu)$. Dadas dos leyes distributivas $\lambda_T$ y $\lambda_R$ de $S$ sobre las mónadas $T$ y $R$, respectivamente, decimos que $S$ se distribuye sobre una transformación natural $\gamma:T\Rightarrow R$ con respecto a $\lambda_T$ y $\lambda_R$ si el diagrama $$\xymatrix{ ST\ar[r]^{\lambda_T}\ar[d]_{S\gamma} & TS\ar[d]^{\gamma S}\\ SR\ar[r]_{\lambda_R} & RS }$$ conmuta.
Definición. Dadas dos mónadas $(S,\eta',\mu'),(T,\eta,\mu)$ sobre $A$, una mónada compuesta $TS$ es una mónada $(TS,\eta\eta',m)$ sobre $A$ tal que las transformaciones naturales $$\xymatrix{ (S,\eta',\mu')\ar[r]^(.45){\eta S} & (TS,\eta\eta',m) & (T,\eta,\mu)\ar[l]_(.4){T\eta'} }$$ son morfismos de mónadas y se cumple la ley unitaria del medio $$\xymatrix{ & TSTS\ar[dd]^m\\ TS\ar[ur]^{T\eta'\eta S}\ar[dr]_1 &\\ & TS. }$$ Dadas dos mónadas compuestas $(TS,\eta_T\eta',m_T)$, $(RS,\eta_R\eta',m_R)$, decimos que una transformación natural $\gamma:T\Rightarrow R$ se compone con $S$ si $$\xymatrix{ TSTS\ar[r]^(.49){\gamma S\gamma S}\ar[d]_{m_T} & RSRS\ar[d]^{m_R}\\ TS\ar[r]_{\gamma S} & RS }$$ conmuta. Si $\gamma$ es, además, un morfismo de mónadas, es fácil ver que $\gamma S$ es un morfismo de mónadas $(TS,\eta_T\eta',m_T)\Rightarrow (RS,\eta_R\eta',m_R)$.
[1] Beck, J. [1969]: Distributive laws, Seminar on Triples and Categorical Homological Theory, ETH 1966/67, 80, 119-140 (1969). ↩