Centro de Investigación en Teoría de Categorías y sus Aplicaciones, A.C.
CINVCAT

 

Producto de Zappa-Szép, sistemas de factorización estricta y leyes distributivas
$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}\newcommand{\mon}{\mathbf{Mon}} \newcommand{\ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\an}{\mathbf{An}}\newcommand {\matcon}{\mathbf{Mat\text{-}Con}} \newcommand{\grp}{\mathbf{Grp}} \newcommand{\ob}{\mathrm{Ob}}$

Producto de Zappa-Szép y leyes distributivas

Existe una relación entre el producto de Zappa-Szép, los sistemas de factorización estricta y las leyes distributivas. Comencemos hablando del producto de Zappa-Szép (también conocido como producto tejido o par apareado de grupos).
     El producto de Zappa-Szép, o producto tejido, es una generalización del producto semidirecto de grupos, al igual que este lo es del producto directo, y es la manera más general en que un grupo se presenta como una factorización de otros dos.
     El producto tejido interno se define de la siguiente manera. Dados un grupo $G$ y dos subgrupos $H$ y $K$ de $G$, las siguientes afirmaciones son equivalentes: Si cualquiera de las afirmaciones anteriores se cumple, decimos entonces que $G$ es producto interno de Zappa-Szép de $K$ y $H$.
     Existe una versión externa del producto de Zappa-Szép, que es la que nos interesa, pues es a través de esta que queda establecida la relación con las leyes distributivas y los sistemas de factorización estricta.
     Dados dos grupos $K$ y $H$, supóngase que existen funciones $\alpha:H\times K\rightarrow K$ y $\beta:H\times K\rightarrow H$ tales que cumplen
  1. $\alpha(h_1h_2,k)=\alpha(h_1,\alpha(h_2,k))$,
  2. $\beta(h_1h_2,k)=\beta(h_1,\alpha(h_2,k))\beta(h_2,k)$,
  3. $\beta(h,k_1k_2)=\beta(\beta(h,k_1),k_2)$,
  4. $\alpha(h,k_1k_2)=\alpha(h,k_1)\alpha(\beta(h,k_1),k_2)$,
  5. $\alpha(e,k)=k$,
  6. $\beta(h,e)=h$
para todo $h,h_1,h_2\in H$ y $k,k_1,k_2\in K$ (véase [4]). Notemos que de (ii) y (v) y de (iv) y (vi) se siguen respectivamente
  1. $\beta(e,k)=e$ y
  2. $\alpha(h,e)=e$.
Se puede definir a partir de (i)-(vi) una multiplicación y un inverso sobre $K\times H$ como $$(k_1,h_1)\gamma(k_2,h_2):=(k_1\alpha(h_1,k_2),\beta(h_1,k_2)h_2))$$ y $$(k,h)^{-1}:=(\alpha(h^{-1},k^{-1}),\beta(h^{-1},k^{-1})).$$ A $(\gamma,K\times H)$ se lo llama el producto externo de Zappa-Szép de $K$ y $H$.
     Notemos que si $G$ es producto interno de Zappa-Szép de sus subgrupos $K$ y $H$, entonces existen funciones $\alpha:H\times K\rightarrow K$ y $\beta:H\times K\rightarrow H$ que satisfacen (i), (ii), (iii), (iv), (v) y (vi) de la definición anterior: su existencia se sigue de que todo elemento $g\in G$ se puede escribir de manera única como un producto $kh$. Y que si $G$ es producto externo de Zappa-Szép de los grupos $K$ y $H$, entonces $G$ es producto interno de Zappa-Szép de sus subgrupos $K\times e_H$ y $e_K\times H$.
     Sean $H,K\in\grp$. Sean $S$ y $T$ los endofuntores sobre $\con$ $H\times(-)$ y $K\times(-)$, respectivamente. Tenemos entonces las mónadas $$H\times X,\quad\xymatrix{X\ar[r]^(.4){e_H\times 1_X} & H\times X},\quad\xymatrix{H\times H\times X\ar[r]^(.6){m_H\times 1_X} & H\times X}$$ y $$K\times X,\quad\xymatrix{X\ar[r]^(.4){e_K\times 1_X} & K\times X},\quad\xymatrix{K\times K\times X\ar[r]^(.6){m_K\times 1_X} & K\times X}.$$ Denotemos a sus unidades y multiplicaciones como $\eta',\mu'$ y $\eta,\mu$, respectivamente. Sea $\gamma$ una estructura de grupo sobre $K\times H$ tal que $K\times e_H,e_K\times H$ son subgrupos de $(\gamma,K\times H)$ y $(K\times e_H)\gamma(e_K\times H)=(\gamma,K\times H)$. O en otras palabras, tal que $(\gamma,K\times H)$ es producto interno de Zappa-Szép de $K\times e_H$ y $e_k\times H$, o que $(\gamma, K\times H)$ es producto externo de Zappa-Szép de $K$ y $H$.
     Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $(k,h)=(k,e_H)\gamma(e_K,h)$ para cualesquiera $k\in K$ y $h\in H$ (considérese la definición de producto externo de Zappa-Szép y las propiedades de $\alpha$ y $\beta$). Se tiene entonces la mónada sobre $\con$ $$(K\times H\times(-),(e_K,e_H)\times 1_{(-)}, \gamma\times 1_{(-)}).$$ Como $K\times e_H$ y $e_K\times H$ son subgrupos de $(\gamma,K\times H)$, se tiene que $\eta S$ y $T\eta'$ son morfismos de mónadas, y como $(k,h)=(k,e_H)\gamma(e_K,h)$, la mónada anterior satisface la ley unitaria del medio, así que esa mónada induce una ley distributiva $ST\Rightarrow TS$; a saber, $$(\gamma\times 1_{(-)})\cdot\eta ST\eta':H\times K\times(-)\Rightarrow K\times H\times(-);$$ explícitamente, $$\xymatrix{(h,k,-)\ar@{|->}[r] & (e_K,h,k,e_H,-)\ar@{|->}[r] & ((e_K,h)\gamma(k,e_H),-)}.$$
     Recíprocamente, sea $\lambda:ST\Rightarrow TS$ una ley distributiva de $S$ sobre $T$, y consideremos a $\lambda 1:H\times K\times 1\rightarrow K\times H\times 1$. Así que prescindamos del singulete y escribamos $$\lambda 1=(\alpha,\beta),$$ donde $\alpha$ y $\beta$ están determinados por el siguiente diagrama conmutativo: $$\xymatrix{ & H\times K\ar[d]^{\lambda 1}\ar[dr]^\alpha\ar[dl]_\beta &\\ K & K\times H\ar[l]^{p_K}\ar[r]_{p_H} & H. }$$ Entonces, por la compatibilidad de $\lambda$ con la unidad de $S$ $$\xymatrix{ & H\times K\times 1\ar[dd]^{\lambda 1}\\ K\times 1\ar[ur]^{e_H\times K\times 1}\ar[dr]_{K\times e_H\times 1} &\\ & K\times H\times 1 }$$ conmuta; de donde, $\alpha(e_H,k)=k$ y $\beta(e_H,k)=e_H$.
     Ahora, por la compatibilidad de $\lambda$ con la multiplicación de $S$, $$\xymatrix{ H\times H\times K\times 1\ar[rr]^{H\times\lambda 1}\ar[d]_{m_H\times K\times 1} & & H\times K\times H\times 1\ar[rr]^{\lambda_{H\times 1}} & & K\times H\times H\times 1\ar[d]^{K\times m_H\times 1}\\ H\times K\times 1\ar[rrrr]_{\lambda 1} & & & & K\times H\times 1 }$$ conmuta; de donde, $$\alpha(h_1h_2,k)=\alpha(h_1,\alpha(h_2,k))\quad\text{y}\quad \beta(h_1h_2,k)=\beta(h_1,\alpha(h_2,k))\beta(h_2,k).$$ Similarmente, tenemos por la compatibilidad de $\lambda$ con la unidad y la multiplicación de $T$ que $\alpha(h,e_K)=e_K$, $\beta(h,e_K)=h$ y que $$\alpha(h,k_1k_2)=\alpha(h,k_1)\alpha(\beta(h,k_1),k_2)\quad\text{y}\quad\beta(h,k_1k_2)=\beta(\beta(h,k_1),k_2).$$
     Por lo tanto, tenemos un producto de Zappa-Szép de $K$ y $H$.
     Así que tenemos una correspondencia entre los productos de Zappa-Szép de $K$ y $H$ y las leyes distributivas de $H\times(-)$ sobre $K\times(-)$. En efecto, definamos como sigue $L:\mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H)\rightarrow\mathbf{LeyDist}(H,K)$, una función que va de los productos de Zappa-Szép de $K$ y $H$ a las leyes distributivas de $H\times(-)$ sobre $K\times(-)$ (sean $\alpha:H\times K\rightarrow K$ y $\beta:H\times K\rightarrow H$ las funciones que definen un producto de Zappa-Szép de $K$ y $H$): $$\xymatrix{ \mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H)\ar[r]^(.55)L & \mathbf{LeyDist}(H,K) }\qquad\qquad\quad$$ $$\xymatrix{ (\alpha,\beta)\ar@{|->}[r] & (\alpha,\beta)\times 1_{(-)}. }$$ Definamos $N:\mathbf{LeyDist}(H,K)\rightarrow\mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H)$ como $$\xymatrix{ \mathbf{LeyDist}(H,K)\ar[r]^(.45)N & \mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H) }\qquad\qquad\quad$$ $$\xymatrix{ \lambda\ar@{|->}[r] & (p_K\circ\lambda 1,p_H\circ\lambda 1). }$$ Es claro que $NL=1$. Veamos que $LN=1$. Tenemos que $\con$ es una categoría distributiva, así que \begin{equation}\label{D:distcatset} Z\times X=\sum\nolimits_{x\in X}Z\times H\times\{x\}. \end{equation}
     Consideremos la inyección $i_x:\{x\}\rightarrow X$; entonces, de la naturalidad de $\lambda$, el siguiente diagrama conmuta: $$\xymatrix{ H\times K\times\{x\}\ar[rr]^{H\times K\times i_x}\ar[d]_{\lambda_{\{x\}}} & & H\times K\times X\ar[d]^{\lambda_X}\\ K\times H\times\{x\}\ar[rr]_{K\times H\times i_x} & & K\times H\times X. }$$ Por otro lado, de que $H\times K\times i_x$ es la inyección $$\xymatrix{H\times K\times\{x\}\ar[r] & \sum_{x\in X}H\times K\times\{x\}},$$ de que $K\times H\times i_x$ es la inyección $$\xymatrix{K\times H\times\{x\}\ar[r] & \sum_{x\in X}K\times H\times\{x\}}$$ y de la igualdad \eqref{D:distcatset}, $\lambda_X=\sum_{x\in X}\lambda_{\{x\}}$. Pero $\lambda_{\{x\}}=\lambda 1\times 1_{\{x\}}$ para todo $x\in X$, así que $\lambda_X=\lambda 1\times 1_X$. De aquí, $\lambda_X=(p_K\circ\lambda 1,p_H\circ\lambda 1)\times 1_X$.

La bicategoría de las matrices conjunto-valuadas

El producto de Zappa-Szép queda generalizado en [3] al demostrar la equivalencia de los conceptos de ley distributiva en la bicategoría de matrices conjunto-valuadas y sistemas de factorización estricta. Veamos cómo. Describamos la bicategoría de matrices conjunto-valuadas $\matcon$: los objetos (las 0-celdas) de $\matcon$ son conjuntos, una 1-celda $M:A\rightarrow B$ es una matriz conjunto-valuada, es decir, $M(b,a)\in\con$ para todo $a\in A$ y $b\in B$, una 2-celda $\tau:M\Rightarrow N:A\rightarrow B$ es una matriz de funciones $\tau(b,a):M(b,a)\rightarrow N(b,a)$. La composición de 1-celdas $$\xymatrix{ A\ar[r]^M & B\ar[r]^E & C\ar@{}|{=}[r] & A\ar[r]^{EM} & C }$$ se define como $$EM(c,a):=\sum_{a\in A}E(c,b)\times M(b,a).$$ Dado $A\in\matcon$, se define $$1_A(b,a):= \begin{cases} 1,\text{ el singulete, si $b=a$};\\ \emptyset,\text{ si $b\neq a$}. \end{cases}$$ Queda claro que $M 1_A\overset{r}{\cong} M$ y que $1_B M\overset{l}{\cong} M$.
     Se tiene que una mónada $T$ sobre un objeto $A$ en esta bicategoría es precisamente una categoría con conjunto de objetos $A$. Aclaremos lo que está ocurriendo. Se tiene que, diagramáticamente, $T$ queda determinada por los siguientes diagramas conmutativos: $$\xymatrix{ (TT)T\ar@{}|{\cong}[r]\ar[d]_{\mu T} & T(TT)\ar[r]^(.55){T\mu} & TT\ar[d]^\mu\\ TT\ar[rr]_\mu & & T }$$ y $$\xymatrix{ 1_AT\ar[r]^{\eta T}\ar[dr]_l & TT\ar[d]^\mu & T1_A\ar[l]_{T\eta}\ar[ld]^r\\ & T &, }$$ donde $l$ y $r$ son los isomorfismos inducidos por el producto y objeto terminal de $\con$ que aparecen arriba. Ahora, lo que hace $T$ es asignar a cada par de elementos $b,a\in A$ un conjunto de flechas $T(b,a)$, dar una composición para cada par componible a través de $\mu$, elegir una identidad para cada elemento de $a\in A$ a través de $\eta$ y finalmente, con los diagramas anteriores, hacer que la composición sea asociativa y que componer con una identidad sea una ley de identidad para las flechas de la categoría pequeña $A$ con objetos sus elementos y sus flechas en $T(b,a)$; en otras palabras, una mónada en $\matcon$ es una categoría enriquecida en $\con$.
     Sean ahora $M$ y $E$ dos categorías con conjunto de objetos $A$ y sea $\lambda:ME\Rightarrow EM$ una ley distributiva de $M$ sobre $E$; $\lambda$ nos da una función $$\xymatrix{ ME(a,c)\ar[r]^{\lambda(a,c)} & EM(a,c) }$$ por cada par $(a,c)\in A\times A$. Así que tenemos una familia de funciones $$(\xymatrix{ M(a,b)\times E(b,c)\ar[r] & \sum_{i\in A}E(a,i)\times M(i,c) })_{b\in A}.$$ Si escribimos $m:\xymatrix{a\ \ar@{>->}[r] & b}$ para una flecha en $M$ y $e:\xymatrix{b\ar@{->>}[r] & c}$ para una en $E$, entonces $\lambda$ nos da un objeto $e_\lambda m$ y un par componible $(e_\alpha m,e_\beta m)$ como se muestra a continuación: $$\xymatrix{ a\; \ar@{>->}[r]^m\ar@{->>}[d]_{e_\alpha m}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & b\ar@{->>}[d]^e\\ e_\lambda m\;\ar@{>->}[r]_{e_\beta m} & c. }$$ Llamemos a un diagrama como el anterior un $\lambda$-cuadrado. Consideremos los diagramas de compatibilidad para la ley distributiva $\lambda:ME\Rightarrow EM$: \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ME\ar[dd]^\lambda\\ E\ar[ru]^{1E}\ar[dr]_{E1} & \\ & EM, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $1$ (CuM)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ME\ar[dd]^\lambda\\ M\ar[ur]^{M1}\ar[dr]_{1 M} &\\ & EM, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $1$ (CuE)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ MME\ar[r]^{M\lambda}\ar[d]_{\bullet E} & MEM\ar[r]^{\lambda M} & EMM\ar[d]^{E\bullet}\\ ME\ar[rr]_\lambda & & EM, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\bullet$ (CmM)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ MEE\ar[r]^{\lambda E}\ar[d]_{M\bullet} & EME\ar[r]^{E\lambda} & EEM\ar[d]^{\bullet M}\\ ME\ar[rr]_\lambda & & EM, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\bullet$ (CmE)}\notag \end{equation} donde estamos denotando como 1 a las transformaciones que nos proporcionan las identidades y como $\bullet$ a las que nos proporcionan las composiciones (las unidades y las multiplicaciones de las mónadas $M$ y $E$). Ahora, en términos de $\lambda$-cuadrados, la compatibilidad de $\lambda$ con las unidades queda expresada como $$\xymatrix{ b\;\ar@{>->}[r]^{1_b}\ar@{->>}[d]_e\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & b\ar@{->>}[d]^e & & a\;\ar@{>->}[r]^m\ar@{->>}[d]_{1_a}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & b\ar@{->>}[d]^{1_b}\\ c\;\ar@{>->}[r]_{1_c} & c & & a\;\ar@{>->}[r]_m & b; }$$ es decir, CuM y CuE nos dicen que ${1_b}_\lambda e=c,m_\lambda 1_b=a$ y que
  1. ${1_b}_\alpha e=e$,
  2. ${1_b}_\beta e=1_c$,
  3. $m_\alpha 1_b=1_a$,
  4. $m_\beta 1_b=m$.
Ahora, siguiendo la trayectoria superior y derecha del diagrama de CmM, nos da $$\xymatrix{ a\;\ar@{>->}[rr]^m\ar@{->>}[d]_{m_\alpha(n_\alpha e)}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[drrrr] & & b\;\ar@{>->}[rr]^n & & b''\ar@{->>}[d]^e\\ m_\lambda(n_\alpha e)\;\ar@{>->}[rr]_{m_\beta(n_\alpha e)} & & n_\lambda e\;\ar@{>->}[rr]_{n_\beta e} & & c; }$$ siguiendo la trayectoria izquierda e inferior e igualando, $(mn)_\lambda e=m_\lambda(n_\alpha e)$ y
  1. $(mn)_\alpha e=m_\alpha(n_\alpha e)$,
  2. $(mn)_\beta e=m_\beta(n_\alpha e)\bullet n_\beta e$.
Similarmente, para CmE, tenemos al seguir la trayectoria superior y derecha del diagrama que $$\xymatrix{ a\;\ar@{>->}[rr]^m\ar@{->>}[d]_{m_\alpha e}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[ddrr] & & b\;\ar@{->>}[d]^e\\ m_\lambda e\ar@{->>}[d]_{(m_\beta e)_\alpha f} & & b'\ar@{->>}[d]^f\\ (m_\beta e)_\lambda f\;\ar@{>->}[rr]_(.55){(m_\beta e)_\beta f} & & c; }$$ siguiendo la trayectoria izquierda e inferior e igualando, nos da que $m_\lambda(ef)=(m_\beta e)_\lambda f$ y que
  1. $m_\alpha(ef)=m_\alpha e\bullet(m_\beta e)_\alpha f$,
  2. $m_\beta(ef)=(m_\beta e)_\beta f$.
Si $A$ tiene un solo elemento, entonces $M$ y $E$ son monoides, las ecuaciones (I)-(VIII) son las (i)-(viii) y las igualdades para objetos se trivializan.
     De la teoría general de leyes distsributivas [1] , $\lambda$ induce una mónada compuesta $E_\lambda M$, una categoría con conjunto de objetos $A$ en que una flecha de $a$ a $c$ queda dada al especificar un tercer objeto $b$ y un par $$\xymatrix{ a\ar@{->>}[r]^e & b\;\ar@{>->}[r]^m & c }$$ con $e$ en $E$ y $m$ en $M$; es decir, las flechas en $E_\lambda M$ están descritas como una composición formal $e\circ m$. La composición en $E_\lambda M$ está dada por la multiplicación para la mónada $E_\lambda M$; a saber, por $$\xymatrix{ & & EEM\ar[dr]^{\bullet M} & \\ EMEM \ar[r]^{E\lambda M} & EEMM\ar[ur]^{EE\bullet}\ar[dr]_{\bullet MM}\ar[rr]^(.55){\bullet\;\bullet} & & EM\\ & & EMM\ar[ur]_{E\bullet} &, }$$ así que la composición de $a\overset{e}{\twoheadrightarrow} b\overset{m}{\rightarrowtail} c$ y $c\overset{f}{\twoheadrightarrow} d\overset{n}{\rightarrowtail} x$ queda dada como $$\xymatrix{ a\ar@{->>}[r]^e\ar@{->>}[dr]_{e\bullet m_\alpha f} & b\;\ar@{>->}[r]^m\ar@{->>}[d]_(.35){m_\alpha f}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & c\ar@{->>}[d]^f\\ & m_\lambda f\;\ar@{>->}[r]_(.6){m_\beta f}\ar@{>->}[dr]_{m_\beta f\bullet n} & d\ar@{>->}[d]^n\\ & & x; }$$ es decir, $(e\circ m)\bullet(f\circ n)=(e\bullet m_\alpha f)\circ(m_\beta f\bullet n)$.
     Es fácil ver que la unidad de la mónada compuesta $E_\lambda M$ nos da que las identidades en $E_\lambda M$ quedan como $$a\overset{1_a}{\twoheadrightarrow}a\overset{1_a}{\rightarrowtail}a.$$
     También se tienen los morfismos de mónadas $1M:M\rightarrow E_\lambda M$ y $E1:E\rightarrow E_\lambda M$ dados como $m\mapsto 1\circ m$ y $e\mapsto e\circ 1$, respectivamente. La ley unitaria del medio nos da que para todo $e\circ m$ en $E_\lambda M$, se cumple $$(e\circ 1)\bullet(1\circ m)=e\circ m.$$
     Notemos que si $M$ y $E$ son monoides, la composición en $E_\lambda M$ es la multiplicación que obtenemos en el caso del producto de Zappa-Szép para grupos.
     Hay una generalización mayor del producto de Zappa-Szép en [2]; sin embargo, ahí se hacen las cosas más a la Ehresmann.

Sistemas de factorización estricta

Definamos ahora lo que es un sistema de factorización estricta. Dada una categoría $C$ con $\ob(C)=:A$, un sistema de factorización estricta sobre $C$ es un par de subcategorías $S:=(E,M)$ de $C$ tal que $\ob(M)=\ob(E)=\ob(C)$ y tal que para toda $f$ en $C$, existe una factorización única $f=e_fm_f$ con $e_f$ en $E$ y $m_f$ en $M$. Consideremos a $M$ y $E$ como mónadas sobre $A$ en $\matcon$. Se tiene que $(E,M)$ induce una ley distributiva $\lambda_S:ME\Rightarrow EM$; en efecto, defínase $\lambda_S$ como $$\xymatrix{ ME\ar[r]^{\lambda_S} & EM }$$ $$\xymatrix{ a\ar[r]^n & b\ar[r]^f & c\ar@{|->}[r] & a\ar[r]^{e_{n\cdot f}} & i\ar[r]^{m_{n\cdot f}} & c. }\ $$ Veamos que cumple la compatibilidad con $M$. La compatibilidad con su unidad es obvia, pues $m\cdot 1_b=m$. Ahora, la trayectoria por arriba y la derecha de la compatibilidad de $\lambda_S$ con la multiplicación de $M$ (véase más arriba el diagrama) nos da el siguiente diagrama: $$\xymatrix{ a\ar[rr]^f\ar[dr]_{e_{f\cdot e_{g\cdot h}}} & & b\ar[r]^g\ar[dr]_(.45){e_{g\cdot h}} & c\ar[r]^h & d\\ & k\ar[rr]_{m_{f\cdot e_{g\cdot h}}} & & j\ar[ur]_{m_{g\cdot h}} &\ ; }$$ así que $f\cdot g\cdot h$ tiene como factorización a $e_{f\cdot e_{g\cdot h}}\cdot m_{f\cdot e_{g\cdot h}}\cdot m_{g\cdot h}$, la cual es única; de donde, la trayectoria por la izquierda y abajo en la compatibilidad de $\lambda_S$ con la multiplicación de $M$ nos da el mismo resultado, y se cumple, en consecuencia, la compatibilidad de $\lambda_S$ con $M$. Similarmente, se tiene la compatibilidad de $\lambda_S$ con $E$.
     Recíprocamente, sea $\lambda:ME\Rightarrow EM$ una ley distributiva en $\matcon$ y considérense las subcategorías de $E_\lambda M$ definidas como $$\lambda E:=\{e\circ 1\mid e\in E\}\quad\text{y}\quad M\lambda:=\{1\circ m\mid m\in M\}.$$ Cada una de estas subcategorías contienen todas las identidades de $E_\lambda M$, así que a todos los objetos de $E_\lambda M$. Por la ley unitaria del medio, $e\circ m$ se factoriza como $(e\circ 1)\bullet(1\circ m)$. Es claro que esta factorización es única, así que $(\lambda E, M\lambda)$ es un sistema de factorización estricta $S_\lambda$ para $E_\lambda M$.
     Hasta aquí dejaremos por ahora esta correspondencia; es decir, no mostraremos que $S_{(-)}$ y $\lambda_{(-)}$ son biequivalencias inversas la una de la otra, por cuestiones de objetivos (lo que queríamos mostrar).
     La manera en que se obtuvo la ley distributiva a partir del producto de Zappa-Szép en el caso de grupos nos hace preguntarnos si una ley distributiva en $\matcon$ tiene una correspondencia de ese tipo...

Referencias

[1] Beck, J. [1969]: Distributive laws, Seminar on Triples and Categorical Homological Theory, ETH 1966/67, 80, 119-140 (1969).
[2] Brin, M. G. [2005]: On the Zappa-Szép Product, Communications in Algebra, 33, 393-424 (2005).
[3] Rosebrugh, R., Wood, R. J. [2002]: Distributive laws and factorization, Journal of Pure and Applied Algebra, 175(1-3), 327-353 (2002).
[4] Takeuchi, M. [1981]: Matched pairs of groups and bismash products of Hopf algebras, Communications in Algebra, 9(8), 841-882 (1981).
Enrique Ruiz Hernández
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