$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}\newcommand{\mon}{\mathbf{Mon}} \newcommand{\ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\an}{\mathbf{An}}\newcommand {\matcon}{\mathbf{Mat\text{-}Con}} \newcommand{\grp}{\mathbf{Grp}} \newcommand{\ob}{\mathrm{Ob}} \newcommand{\dia}{\mathrm{diag}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\tra}{\mathsf{P}} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^+} \newcommand{\unitin}{\mathbb{I}} \newcommand{\unitg}{\mathbf{I}} \newcommand{\tp}{\mathbf{Top}} \newcommand{\grpd}{\mathbf{Grpd}} \newcommand{\Indisc}{\mathbf{Indisc}} \DeclareMathOperator{\Ima}{Im} \newcommand{\dos}{\mathbf{2}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$
Grupoides
Estas notas están basadas principalmente en
[2] y
[1].
En 1926, el concepto de grupoide apareció por primera vez en el artículo
Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes1 de Heinrich Brandt. El concepto surgió cuando quiso generalizar, para las formas cuadráticas cuaternarias
2, la composición de formas cuadráticas binarias dada por Gauss. Ahí no dio la definición de grupoide, sino la de grupoide conexo.
Hay tres definiciones distintas pero equivalentes de grupoide. Sólo daremos dos.
Definición. Un
grupoide $G$ es una categoría pequeña cuyos morfismos son todos isomorfismos.
3
Definición (global). Un
grupoide $G$ consiste de
- un conjunto $G_0$ de objetos;
- un conjunto $G_1$ de morfismos;
- un par de funciones $s,t:G_1\rightarrow G_0$, llamadas fuente y destino, o dominio y codominio, respectivamente;
- una composición o mapeo de composición $m:G_1\times_{G_0} G_1\rightarrow G_1$, donde $$\xymatrix{ G_1\times_{G_0}G_1\ar[r]^(.65){p_2}\ar[d]_{p_1} & G_1\ar[d]^s\\ G_1\ar[r]_t & G_0 }$$ es una retrotracción;
- un mapeo que asigna identidades $e:G_0\rightarrow G_1$;
- un mapeo de inversos $i:G_1\rightarrow G_1$
tal que los siguientes diagramas conmutan:
(leyes que especifican la fuente y destino de las identidades) $$\xymatrix{ G_0\ar[r]^e\ar[dr]_1 & G_1\ar[d]^s & & G_0\ar[r]^e\ar[dr]_1 & G_1\ar[d]^t\\ & G_0 & & & G_0, }$$ (leyes que especifican la fuente y destino de una composición) $$\xymatrix{ G_1\times_{G_0}G_1\ar[r]^(.6)m\ar[d]_{p_1} & G_1\ar[d]^s & G_1\times_{G_0}G_1\ar[r]^(.6)m\ar[d]_{p_2} & G_1\ar[d]^t\\ G_1\ar[r]_s & G_0 & G_1\ar[r]_t & G_0, }$$ (ley asociativa para la composición
4) $$\xymatrix{ G_1\times_{G_0}G_1\times_{G_0}G_1\ar[rr]^(.55){m\times_{G_0}1}\ar[d]_{1\times_{G_0}m} & & G_1\times_{G_0}G_1\ar[d]^m \\ G_1\times_{G_0}G_1\ar[rr]_m & & G_1, }$$ (leyes de identidad izquierda y derecha para la composición) $$\xymatrix{ G_0{^1}\times^s_{G_0}G_1\ar[rr]^{e\times_{G_0}1}\ar[drr]_{q_2} & & G_1\times_{G_0}G_1\ar[d]^m & & G_1{^t}\times^1_{G_0}G_0\ar[ll]_{1\times_{G_0}e}\ar[lld]^{q_1}\\ & & G_1 & &, }$$ (leyes que especifican la fuente y destino de los inversos) $$\xymatrix{ G_1\ar[r]^i\ar[dr]_t & G_1\ar[d]^s & & G_1\ar[r]^i\ar[dr]_s & G_1\ar[d]^t\\ & G_0 & & & G_0, }$$ (ley multiplicativa de un inverso por la izquierda) $$\xymatrix{ G_1\ar[r]^(.35)\dia\ar[d]_s & G_1{^t}\times^t_{G_0}G_1\ar[rr]^{1\times i} & & G_1\times_{G_0}G_1\ar[d]^m\\ G_0\ar[rrr]_e & & & G_1, }$$ (ley multiplicativa de un inverso por la derecha) $$\xymatrix{ G_1\ar[r]^(.35)\dia\ar[d]_t & G_1{^s}\times^s_{G_0}G_1\ar[rr]^{i\times 1} & & G_1\times_{G_0}G_1\ar[d]^m\\ G_0\ar[rrr]_e & & & G_1. }$$ Por esta última definición, a un grupoide también se le suele denotar como $\xymatrix{G_1\ar@<.5ex>[r]\ar@<-.5ex>[r] & G_0}$. Cuando se define la acción de un grupoide sobre un conjunto u otro grupoide, esta es la definición a la que se recurre.
Ejemplo. Sea $(X,R)$ un conjuntoide; es decir, $X\in\con$ y $R$ es una relación de equivalencia sobre $X$. Podemos ver a $(X,R)$ como un grupoide cuyos objetos son los elementos de $X$, y diremos que hay un morfismo $x\rightarrow y$ si $xRy$. La reflexividad nos da las identidades, la simetría los inversos y la transitividad la composición. Como, dados cualesquiera dos objetos $x,y\in X$, hay a lo más una flecha $x\rightarrow y$, se cumple la ley asociativa. A este grupoide se lo denota como $\xymatrix{R\ar@<.5ex>[r]\ar@<-.5ex>[r] & X}$
En otras palabras, el concepto de grupoide generaliza el de relación de equivalencia.
Ejemplo. Sea $G$ un grupo y $X$ un $G$-conjunto izquierdo. Definimos el grupoide acción o de transformaciones, denotado por $G\ltimes X$, como sigue: $\ob(G\ltimes X):=X$. Dados $x,y\in X$, tenemos una flecha $g:x\rightarrow y$ si $gx=y$. Es claro cómo quedan definidas la composición y las identidades. A este grupoide también se lo denota como $\xymatrix{G\times X\ar@<.5ex>[r]\ar@<-.5ex>[r] & X}$.
Ejemplo. Dado un campo $F$, el grupoide lineal general $GL_\ast(F)$ sobre $F$ consiste de todas las matrices invertibles de cualquier tamaño. Se tiene que $\ob(GL_\ast(F))=\N$. Notemos que hay un solo morfismo $0\rightarrow 0$, la matriz vacía.
Ejemplo. Toda categoría discreta es un grupoide, al que llamamos también
grupoide discreto.
Grupoide fundamental
Hay dos maneras de construir el grupoide fundamental de un espacio $X$: considerando trayectorias de longitud 1 o considerando trayectorias de longitud arbitraria.
Optaremos por la segunda porque con ella aparece una categoría (estricta) $\tra X$ de trayectorias en $X$, la cual tiene su importancia en lógica categórica (veáse
[5]).
Definición. Dado un espacio $X$, la
categoría de trayectorias en $X$, denotada como $\tra X$, tiene como conjunto de objetos a $X$, es decir, $\ob(\tra X):=X$, y dados $x,y\in\tra X$, $$\tra X(x,y):=\{f:[0,r]\rightarrow X\mid r\in\Rm, \text{$f$ es continua}, f0=x, fr=y\}.$$ Dadas $a:x\rightarrow y$, $b:y\rightarrow z$ en $\tra X$ de longitud $p$ y $q$, respectivamente, su composición, denotada $b+a:x\rightarrow z$, se define como $$(b+a)t:= \begin{cases} a(t) &\text{ si }0\leq t\leq p,\\ b(t-p) &\text{ si }p\leq t\leq p+q. \end{cases}$$ Es claro que la composición es asociativa y que las identidades son las trayectorias de longitud cero, llamadas
trayectorias cero.
A las trayectorias de longitud arbitraria se las conoce como
trayectorias de Moore.
Para todo $r\in\Rm$ y $x\in X$, $r_x$ denotará la trayectoria constante en $x$ de longitud $r$. Cuando no haya confusión, tales trayectorias la denotaremos simplemente como $r$.
Definición. Sea $X$ un espacio y sean $a,b\in\tra X(x,y)$ dos trayectorias de longitud $r$. Una
homotopía relativa a puntos extremos de longitud $q$ de $a$ a $b$ es una función continua $$F:[0,r]\times[0,q]\rightarrow X$$ tal que \begin{align} F(s,0) &=a(s), & F(s,q)&=b(s), & s&\in[0,r]\notag\\ F(0,t) &=x, & F(r,t)&=y, & t&\in[0,q].\notag \end{align} Si tal función existe, escribiremos $F:a\sim b$ o simplemente $a\sim b$ y decimos que $a$ y $b$ son
homotópicos relativo a puntos extremos.
Ahora, sean $a,b\in\tra X(x,y)$ de longitudes $p$ y $q$, resp. Decimos que $a$ es equivalente a $b$ (lo que escribimos $a\equiv b$) si existen $p',q'\in\Rm$ tales que $p'+a\sim q'+b$.
Definición. Sea $X$ un espacio. Sean $x,y\in X$. Definimos $\pi X(x,y)$ como el conjuto de clases de equivalencia de trayectorias en $\tra X(x,y)$ en relación a $\equiv$. Sea $\pi X$ la categoría con objetos los elementos de $X$ y las flechas $x\rightarrow y$ los elementos de $\pi X(x,y)$. A $\pi X$ lo llamaremos el
grupoide fundamental de $X$.
Observación 1. Notemos que si $a\in\tra X(x,y)$ es de longitud $r\in\Rm$ y $r'>0$, entonces $a$ es equivalente a una trayectoria de longitud $r'$. En efecto, sea $b:s\mapsto a(sr/r')$ y definamos $$F(s,t):= \begin{cases} a(sr/\lambda_t) &\text{ si }0\leq s\leq\lambda_t,\\ y &\text{ si }\lambda_t\leq s\leq r+r', \end{cases}$$ donde $\lambda_t:=r(1-t)+r't$ para $t\in[0,1]$.
También notemos que si $a\in\tra X(x,y)$ y $b\in\tra X(y,z)$ son de lontiud 1 y definimos $b\cdot a$ como normalmente lo haríamos, entonces $b\cdot a$ es equivalente a $b+a$: definimos $$G(s,t):= \begin{cases} (b\cdot a)s &\text{ si }0\leq s\leq t,\\ z &\text{ si }t\leq s\leq 2t,\\ (b+a)s &\text{ si }2t\leq s\leq 2. \end{cases}$$ Esto basta para mostrar que el grupoide fundamental definido en términos de trayectorias de Moore es isomorfo al grupoide fundamental definido en términos de trayectorias de longitud 1. (De aquí en adelante, no distinguiremos entre $\equiv$ y $\sim$).
Ejemplo. Si $X$ consiste de un solo punto $x$, entonces $\pi X$ tiene un solo objeto $x$, y $\pi X(x,x)$ consiste sólo de la clase de la trayectoria cero. De manera más general, si las componentes por trayectorias de $X$ consisten de un solo punto, entonces $$\pi X(x,y):= \begin{cases} \emptyset &\text{ si }x\neq y,\\ \{0_x\} &\text{ si }x=y. \end{cases}$$
Ejemplo 1. Sea $X$ un subconjunto convexo de un espacio vectorial normado, y sean $a,b\in\tra X(x,y)$ de longitud $r$. Entonces, $a$ y $b$ son homotópicas, ya que podemos definir $F:[0,r]\times\unitin\rightarrow X$ como $$F(s,t):=(1-t)a(s)+tb(s),$$ que es una homotopía $a\sim b$. Por la homotopía $F$ de la
Observación 1, se sigue que cualesquiera dos trayectorias de $x$ a $y$ son equivalentes, así que $\pi X(x,y)$ tiene exactamente un elemento para toda $x,y\in X$.
Definición. Un grupoide $G$ se dice que es
1-conexo, simplicial5 o un
grupoide en árbol si $G(x,y)$ tiene exactamente un solo elemento para todo $x,y\in G$. Un espacio $X$ se dice que es
1-conexo si $\pi X$ es 1-conexo. Notemos que si $X$ es 1-conexo, entonces $X$ es conexo por trayectorias. Si $\pi X(x,y)$ tiene a lo más un elemento para cada $x,y\in X$, decimos que $X$ y que $\pi X$ son
simplemente conexos.
Definición. Sea $G$ un grupoide y $x\in G$. Denotamos como $G(x)$ al subgrupoide pleno de $G$ con objeto único $x$. A $G(x)$ se lo llama el
grupo objeto o
grupo vértice en $x$. Sean $X$ un espacio y $x\in X$. A $\pi X(x)$, también denotado $\pi(X,x)$, se lo llama el
grupo fundamental de $X$ en $x$. De manera más general, si $A\in\con$, el subgrupoide pleno de $\pi X$ con objetos los elementos de $A\cap X$ lo denotaremos como $\pi XA$.
Definición. Sea $G$ un grupoide. Decimos que $G$ es
conexo si $G(x,y)\neq\emptyset$ para todo $x,y\in G$.
Proposición 1.
Sea $G$ un grupoide conexo y sean $x,x',y,y'\in G$. Entonces, existe una biyección $$\xymatrix{G(x,y)\ar[r]^\varphi & G(x',y')}$$ tal que si $x=y$ y $x'=y'$, podemos escogerla de modo que sea un isomorfismo de grupos. Es decir, los grupos objeto de un grupoide conexo son todos isomorfos.
Demostración. Considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\xymatrix{ x\ar[r]^c\ar[d]_a & y\ar[d]^b\\ x'\ar[r]_{\varphi c} & y'. }$$
Proposición.
Sea $G$ un grupoide y sean $x,y\in G$ tales que están en la misma componente conexa de $G$. Si $a\in G(x,y)$, denotemos como $a_{xy}$ al isomorfismo de grupos inducido por $a$ de $G(x)$ a $G(y)$. Entonces, $a_{xy}=b_{xy}:G(x)\rightarrow G(y)$ para todo $a,b\in G(x,y)$ si y sólo si $G(x)$ es abeliano.
Demostración. Se tiene que $$(-b+a)_{xx}=(-b)_{yx}a_{xy}=b_{xy}^{-1}a_{xy}$$ es un automorfismo interno de $G(x)$. Por otro lado, dado $c:x\rightarrow x$, se tiene que $$b_{xy}^{-1}(b+c)_{xy}=c_{xx}.$$ De donde, todo automorfismo interno de $G(x)$ es de la forma $b_{xy}^{-1}a_{xy}$. Y los automorfismos internos de un grupo son triviales si y sólo si el grupo es abeliano.
Observación. Sea $X$ un espacio. Las componentes (conexas) de $\pi X$ son los grupoides $\pi X_0$ para $X_0$ componente por trayectorias de $X$.
Si $\alpha\in\pi X(x,y)$ y $x,y\in\pi X$ están en la misma componente conexa, entonces $\alpha$ induce un isomorfismo $\alpha_{xy}:\pi(X,x)\rightarrow\pi(X,y)$ de grupos fundamentales, y $\alpha_{xy}$ no depende de la elección de $\alpha$ si $\pi(X,x)$ es abeliano.
Ejemplo. Sea $X$ un espacio. Si $X$ tiene la topología discreta, entonces $\pi X$ es el grupoide discreto.
Ejemplo. Los grupoides en árbol con dos objetos 0, 1 serán de gran importancia. Ya que son todos isomorfos, los denotaremos invariablemente como $\unitg$; al único elemento de $\unitg(0,1)$ lo denotaremos como $\iota$. Si $X$ es un espacio 1-conexo y $A\subseteq X$, entonces $\pi XA$ es un grupoide en árbol. En particular, por el
Ejemplo 1, el grupoide fundamental de $\unitin$ sobre el conjunto $\{0,1\}$ es precisamente $\unitg$; es decir, $$\pi\unitin\{0,1\}=\unitg.$$
Definición. Se dice que un grupoide $G$ es
totalmente disconexo si $$G(x,y)=\emptyset$$ para $x\neq y$ en $G$.
El grupoide fundamental como funtor
Proposición.
$\tra$ es un funtor $\tp\rightarrow\Cat$.
Demostración. Trivial.
Proposición.
$\pi$ es un funtor $\tp\rightarrow\grpd$.
Demostración. Trivial.
Proposición.
El funtor $\pi:\tp\rightarrow\grpd$ preserva productos.
Demostración. Sea $$\xymatrix{ X_1 & X_1\times X_2\ar[l]_(.55){p_1}\ar[r]^(.6){p_2} & X_2 }$$ un producto en $\tp$. Veamos que $$\xymatrix{ \pi X_1 & \pi(X_1\times X_2)\ar[l]_(.6){\pi p_1}\ar[r]^(.62){\pi p_2} & \pi X_2 }$$ lo es en $\grpd$. Sean $\varphi_1:G\rightarrow\pi X_1,\varphi_2:G\rightarrow\pi X_2$ morfismos en $\grpd$. Entonces, $\varphi_1:\ob(G)\rightarrow X_1$ y $\varphi_2:\ob(G)\rightarrow X_2$. Por la propiedad universal del producto en $\con$, el siguiente diagrama conmuta: $$\xymatrix{ & \ob(G)\ar[d]^{(\varphi_1,\varphi_2)}\ar@/_.7pc/[dl]_{\varphi_1}\ar@/^.7pc/[dr]^{\varphi_2} & \\ X_1 & X_1\times X_2\ar[l]^(.55){p_1}\ar[r]_(.6){p_2} & X_2. }$$ Ahora definamos $(\varphi_1,\varphi_2):G\rightarrow\pi(X_1\times X_2)$ en las flechas. Sea $g\in G(x,y)$; así que $\varphi_1 g\in\pi X_1$ y $\varphi_2 g\in\pi X_2$. Digamos que $a:\unitin\rightarrow X_1$ y que $b:\unitin\rightarrow X_2$ son trayectorias tales que $\varphi_1 g=[a]$ y $\varphi_2 g=[b]$. Así que definimos $(\varphi_1,\varphi_2)g:=[(a,b)]$, y esto está bien definido, pues si $F:\unitin\times\unitin\rightarrow X_1$ es una homotopía tal que $F:a\sim c$ y $H:\unitin\times\unitin\rightarrow X_2$ una tal que $H:b\sim d$, entonces $(F,H):(a,b)\sim(c,d)$. Es claro que $$\xymatrix{ & G\ar[d]^{(\varphi_1,\varphi_2)}\ar@/_.7pc/[dl]_{\varphi_1}\ar@/^.7pc/[dr]^{\varphi_2} & \\ \pi X_1 & \pi(X_1\times X_2)\ar[l]^(.6){\pi p_1}\ar[r]_(.6){\pi p_2} & \pi X_2. }$$ conmuta. Claramente $(\varphi_1,\varphi_2)$ es la única flecha que hace conmutar el diagrama anterior.
Proposición.
El funtor $\pi$ preserva coproductos.
Demostración. Sean $X_1,X_2$ espacios. Consideremos el coproducto $$\xymatrix{ X_1\ar[r]^(.4){i_1} & X_1+X_2 & X_2\ar[l]_(.38){i_2} }$$ en $\tp$. Veamos que $$\xymatrix{ \pi X_1\ar[r]^(.38){\pi i_1} & \pi(X_1+X_2) & \pi X_2\ar[l]_(.35){\pi i_2} }$$ lo es en $\grpd$. Sean $\vartheta_1:\pi X_1\rightarrow G,\vartheta_2:X_2\rightarrow G$ morfismos en $\grpd$. Por la propiedad universal del coproducto en $\con$, el siguiente diagrama conmuta: $$\xymatrix{ X_1\ar[r]^(.4){i_1}\ar@/_.7pc/[dr]_{\vartheta_1} & X_1+X_2\ar[d]^{[\vartheta_1,\vartheta_2]} & X_2\ar[l]_(.38){i_2}\ar@/^.7pc/[dl]^{\vartheta_2}\\ & \ob(G) & . }$$ Ahora definamos $[\vartheta_1,\vartheta_2]:\pi(X_1+X_2)\rightarrow G$ en las flechas. Sea $a:\unitin\rightarrow X_1+X_2$; entonces, $$[\vartheta_1,\vartheta_2][a]:= \begin{cases} \vartheta_1\left[a|^{X_1}\right] & \text{ si }a\unitin\subseteq X_1,\\ \vartheta_2\left[a|^{X_2}\right] & \text{ si }a\unitin\subseteq X_2, \end{cases}$$ donde $a|^{X_i}$ es la correstricción de $a$ a $X_i$. Este funtor está bien definido, pues si $F:\unitin\times\unitin\rightarrow X_1+X_2$ es una homotopía $a\sim b$, entonces $F(\unitin\times\unitin)\subseteq X_1$ o $F(\unitin\times\unitin)\subseteq X_2$, y $F:a|^{X_1}\sim b|^{X_1}$ o $F:a|^{X_2}\sim b|^{X_2}$. Claramente, $[\vartheta_1,\vartheta_2]$ es el único morfismo en $\grpd$ que hace conmutar $$\xymatrix{ \pi X_1\ar[r]^(.4){\pi i_1}\ar@/_.7pc/[dr]_{\vartheta_1} & \pi(X_1+X_2)\ar[d]^{[\vartheta_1,\vartheta_2]} & \pi X_2\ar[l]_(.38){\pi i_2}\ar@/^.7pc/[dl]^{\vartheta_2}\\ & G & . }$$
Definición. Sean $A$ y $B$ dos categorías y $G,H:A\rightarrow B$ funtores. Una \textit{homotopía de funtores de $G$ a $H$} es un funtor $F:A\times\unitg\rightarrow B$ tal que $F(-,0)=G$ y $F(-,1)=H$. Cuando este sea el caso, tal situación la denotaremos como $F:G\simeq H$ o simplemente como $G\simeq H$, y diremos que $G$ y $H$ son
homotópicos. Decimos que un funtor $F:A\rightarrow B$ es una
equivalencia homotópica de categorías si existe un funtor $G:B\rightarrow A$ tal que $FG\simeq 1_B$ y $GF\simeq 1_A$. En tal caso, decimos que $A$ y $B$ son
equivalentes (
homotópicamente equivalentes o del
mismo tipo homotópico)
6.
Observación. Notemos que se tiene una homotopía de funtores $G$ a $H$ si y sólo si $G$ y $H$ son isomorfos. Es decir, el concepto de homotopía de funtores es equivalente al de isomorfismo natural.
El concepto de equivalencia homotópica de categorías es equivalente al concepto de equivalecia de categorías. (Véase la sección IV.4 en
[4]).
Observación. Sean $G,H:A\rightarrow B$ funtores. Sea $\vartheta:G\rightarrow H$ un isomorfismo natural; entonces, $\vartheta$ induce una familia de biyecciones $\vartheta(a,b)$ para cada par de objetos $a,b\in A$ tal que hace conmutar el siguiente diagrama: $$\xymatrix{ A(a,b)\ar[r]^G\ar[dr]_H & B(Ga,Gb)\ar[d]^{\vartheta(a,b)}\\ & B(Ha,Hb), }$$ donde $\vartheta(a,b):=\vartheta b\circ r\circ(\vartheta a)^{-1}$: $$\xymatrix{ Ga\ar[d]_r\ar[r]^{\vartheta a} & Ha\ar[d]_(.47){r'}^{\vartheta(a,b)}\\ Gb\ar[r]_{\vartheta b} & Hb }$$ conmuta.
Nota. Las siguientes propiedades de un funtor $S:A\rightarrow C$ son equivalentes:
- $S$ es una equivalencia de categorías,
- $S$ es parte de una equivalencia adjunta $\eta,\epsilon,T\dashv S:A\rightarrow C$,
- $S$ es fiel y pleno, y cada objeto $c\in C$ es isomorfo a $Sa$ para algún objeto $a\in A$.
(Véase el Teorema IV.4.1 en
[4]).
Proposición 2.
Sea $G$ un grupoide conexo y $x_0\in G$. Entonces, $G$ es equivalente (u homotópicamente equivalente) a $G(x_0)$. Más aún, $G\cong G(x_0)\times\Indisc(\ob(G))$, donde $\Indisc(\ob(G))$ es la relación de equivalencia trivial sobre $\ob(G)$.
Demostración. Sea $T$ un subgrupoide en árbol vasto de $G$ (es decir, $\ob(G)=\ob(T)$). Sea $x_0\in G$ y sea $\tau_x$ la única flecha en $T(x_0,x)$ para $x\in G$. Si $a\in G(x,y)$, existe un único $a'\in G(x_0)$ tal que $$a=\tau_y+a'-\tau_x.$$ Si $b\in G(y,z)$, entonces \begin{align} b+a &=\tau_z+b'-\tau_y+\tau_y+a'-\tau_x\notag\\ &=\tau_z+b'+a'-\tau_x.\notag \end{align} De donde, $(b+a)'=b'+a'$. Esto nos dice que podemos recuperar $G$ a partir de $T$ y $G(x_0)$, y que, de hecho, $(-)':G\rightarrow G(x_0)$ es una equivalencia.
Como el $T$ siempre se puede obtener, esto nos dice que todo grupoide conexo es equivalente a cualquiera de sus grupos vértice. Más aún, $(-)'$ es una retración y una equivalencia inversa a la inclusión, y $G\cong G(x_0)\times\Indisc(\ob(G))$.
Corolario.
Todo grupoide es del mismo tipo homotópico de un grupoide totalmente disconexo.
Nota. Dado lo anterior, se podría pensar que los grupoides que no son totalmente disconexos son de poco interés. Sin embargo, los grupoides y los morfismos de grupoides portan información del tipo gráfico-teórico que es más difícil de describir en términos puramente de grupos.
Una situación análoga son los espacios vectoriales, los cuales son caracterizados, salvo isomorfismo, por un número cardinal: la dimensión del espacio. Sin embargo, esto no implica que los espacios vectoriales puedan eliminarse de las matemáticas, pues los espacios vectoriales con estructura adicional y los morfismos de espacios vectoriales tienen una importancia considerable en matemáticas.
Proposición.
Si $f,g:X\rightarrow Y$ son mapeos homotópicos, entonces $\pi f,\pi g:\pi X\rightarrow\pi Y$ son homotópicos.
Demostración. Sea $F:X\times\unitin\rightarrow Y$ una homotopía de $f$ a $g$. Sea $H$ la siguiente composición de funtores: $$\xymatrix{ \pi X\times\unitg\ar@{^{(}->}[r] & \pi X\times\pi\unitin\ar[r]_\cong^\varphi & \pi(X\times\unitin)\ar[r]^(.62){\pi F} & \pi Y, }$$ donde $\varphi([a],[b]):=[(a,b)]$. Se tiene que $H(-,0)=\pi f$ y que $H(-,1)=\pi g$.
Corolario.
Si $f:X\rightarrow Y$ es una equivalencia homotópica de espacios, entonces $\pi f:\pi X\rightarrow\pi Y$ es una equivalencia homotópica de grupoides.
Observación. Sea $S:A\rightarrow C$ una equivalencia homotópica de categorías. Si $S$ es biyectiva sobre objetos, $S$ es un isomorfismo de categorías.
Observación. Si $f:X\rightarrow Y$ es una equivalencia homotópica de espacios, entonces para todo $x\in X$, $\pi f:\pi(X,x)\rightarrow\pi(Y,fx)$ es un isomorfismo de grupos (fundamentales).
El Teorema de Seifert-Van Kampen
Si $X$ es un espacio y $U,V\in\tau X$ tales que $X=U\cup V$, entonces el siguiente diagrama es una protracción
7 en $\tp$: \begin{equation}\label{E:pushout} \xymatrix{ U\cap V\ar@{^{(}->}[r]\ar@{^{(}->}[d] & U\ar@{^{(}->}[d]\\ V\ar@{^{(}->}[r] & X. } \end{equation}
Teorema.
8 Sea $X$ un espacio y sean $U,V\in\tau X$ tales que $X=U\cup V$, entonces $\pi$ preserva la protracción anterior; es decir, el siguiente diagrama es una protracción en $\grpd$: \begin{equation}\label{E:pipushout} \xymatrix{ \pi(U\cap V)\ar[r]\ar[d] & \pi U\ar[d]\\ \pi V\ar[r] & \pi X. } \end{equation}
Demostración. Veamos, pues, que en efecto el diagrama anterior es una protracción. Sean $g:\pi V\rightarrow G,f:\pi U\rightarrow G$ morfismos en $\grpd$ que hacen conmutar el siguiente diagrama: \begin{equation}\label{E:commdiag} \xymatrix{ \pi(U\cap V)\ar[r]\ar[d] & \pi U\ar[d]^f\\ \pi V\ar[r]\ar[r]_g & G. } \end{equation} Defínase $h:\pi X\rightarrow G$ en objetos simplemente como $$hx:=\begin{cases} fx &\text{ si }x\in U,\\ gx &\text{ si }x\in V, \end{cases}$$ y $h$ está bien definido por la conmutatividad de \eqref{E:commdiag}.
Ahora definamos $h$ en las flechas. Sea $a:[0,1]\rightarrow X$ una trayectoria. Entonces, definimos $h[a]:=f[a]$ si $\Ima a\subseteq U$; $h[a]:=g[a]$ si $\Ima a\subseteq V$. En general, podemos descomponer a $a$ en trayectorias $a_i:[0,1/n]\rightarrow X$ con $a_it:=a(t+(i-1)/n)$ para $i=1,\ldots,n$ tales que $a=a_n+\cdots+a_1$ y $\Ima a_i\subseteq U$ o $\Ima a_i\subseteq V$. Esto lo podemos hacer por el Lema del número de Lebesgue: para la cubierta $\{a^{-1}U,a^{-1}V\}$ de $[0,1]$, existe un número de Lebesgue $\delta$. Para ese $\delta$ existe $n\in\N$ tal que $1/n <\delta$; así que el intervalo $$[(2i-1)/2n-1/2n,(2i-1)/2n+1/2n]=[(i-1)/n,i/n]$$ está contenido o en $a^{-1}U$ o en $a^{-1}V$. De donde, $\Ima a_i\subseteq U$ o $\Ima a_i\subseteq V$.
Entonces, definimos $$h[a]:=k[a_n]+\cdots+k[a_1],$$ donde $k$ es $f$ si $\Ima a_i\subseteq U$ y $k$ es $g$ si $\Ima a_i\subseteq V$. Veamos que $h$ está bien definido; es decir, que su definición no depende de la descomposición de $a$. Sea $b:[0,1]\rightarrow X$ trayectoria en $X$ tal que es homotópica a $a$ retlativo a puntos extremos. Sea $H:[0,1]\times[0,1]\rightarrow X$ una homotopía relativa a puntos extremos de $a$ a $b$. Usando nuevamente el Lema del número de Lebesgue, podemos obtener una cuadrícula suficientemente fina de $\unitin\times\unitin$ de tal manera que $H$ manda cada cuadrito de la cuadrícula dentro de uno u otro de los abiertos $U$ y $V$. Tal cuadrícula nos da el mismo número de componentes para $a$ que para $b$.
Ahora, el cuadrito $[t_i, t_{i+1}]\times [t_j,t_{j+1}]$ (que por simplificación llamaremos también cuadrito $(i,j)$) tiene dos bordes horizontales: sea $h_{i,j}:[0,1]\rightarrow[0,1]\times[0,1]$ la parametrización del borde inferior; es decir, $$h_{i,j}s:=((1-s)t_i+st_{i+1},t_j).$$ Sea $h_{i,j+1}$ la del borde superior. El cuadrito $(i,j)$ tiene también dos bordes verticales: sean $v_{i,j}:[0,1]\rightarrow[0,1]\times[0,1]$ la parametrización izquierda y $v_{i+1,j}$ la derecha.
Sea $K:[0,2]\times[0,1]\rightarrow[t_i, t_{i+1}]\times [t_j,t_{j+1}]$ una función continua suprayectiva tal que manda \begin{align} &\{0\}\times[0,1] & &\text{a} & &\{(t_i,t_j)\}\notag,\\ &\{2\}\times[0,1] & &\text{a} & &\{(t_{i+1},t_{j+1})\}\notag, \end{align} y homeomórficamente \begin{align} &[0,1]\times\{0\} & &\text{a} & &[t_i,t_{i+1}]\times\{t_j\}\notag,\\ &[1,2]\times\{0\} & &\text{a} & &\{t_{i+1}\}\times[t_j,t_{j+1}]\notag,\\ &[0,1]\times\{1\} & &\text{a} & &\{t_i\}\times[t_j,t_{j+1}]\notag,\\ &[1,2]\times\{1\} & &\text{a} & &[t_i,t_{i+1}]\times\{t_{j+1}\}\notag. \end{align} Más específicamente, defínase $$K(s,t):=\begin{cases} (1-s)(t_i,t_j)+s[(1-2t)(t_{i+1},t_j)+t(t_i+t_{i+1},t_j+t_{j+1})]\\ \qquad\qquad\text{si $(s,t)\in[0,1]\times[0,1/2]$,}\\ (2-s)[(1-2t)(t_{i+1},t_j)+t(t_i+t_{i+1},t_j+t_{j+1})]+\\ \qquad\qquad(s-1)(t_{i+1},t_{j+1}) \text{ si $(s,t)\in[1,2]\times[0,1/2]$,}\\ (1-s)(t_i,t_j)+s[(1-t)(t_i+t_{i+1},t_j+t_{j+1})+(2t-1)(t_i,t_{j+1})]\\ \qquad\qquad\text{si $(s,t)\in[0,1]\times[1/2,1]$,}\\ (2-s)[(1-t)(t_i+t_{i+1},t_j+t_{j+1})+(2t-1)(t_i,t_{j+1})]+\\ \qquad\qquad(s-1)(t_{i+1},t_{j+1}) \text{ si $(s,t)\in[1,2]\times[1/2,1]$.} \end{cases}$$ Entonces, $$HK:(H\circ v_{i+1,j})+(H\circ h_{i,j})\sim(H\circ h_{i,j+1})+(H\circ v_{i,j}).$$ Luego, esas dos sumas son iguales en el grupoide fundamental del abierto que contiene la imagen del cuadrito $(i,j)$ bajo H. Si aplicamos $h$, el cual estamos definiendo, obtenemos una igualdad también en el grupoide $G$.
Notemos que si la imagen de $H\circ h_{i,j}$ está en ambos abiertos, no hay problema alguno, pues la imagen está en la intersección y el diagrama \eqref{E:commdiag} conmuta.
Renombremos a $h[H\circ h_{i,j}], h[H\circ h_{i,j+1}], h[H\circ v_{i,j}], h[H\circ v_{i+1,j}]$ como $h_{i,j},h_{i,j+1},v_{i,j},v_{i+1,j}$, resp. Entonces, tenemos que $v_{i+1,j}+h_{i,j} = h_{i,j+1}+v_{i,j}$ en $G$. Por otro lado, $$h[a]=h_{N-1,0}+\cdots+h_{1,0}+h_{0,0}\text{ y }h[b]=h_{N-1,N}+\cdots+h_{1,N}+h_{0,N}.$$ Probaremos por inducción que los $h_{N-1,j}+\cdots+h_{1,j}+h_{0,j}$ son todos iguales, lo cual nos daría que $h[a]=h[b]$. Tenemos entonces que $h_{i,j+1} = v_{i+1,j}+h_{i,j}-v_{i,j}$. Ahora, sumando todas esas $h_{i,j+1}$ para $i = N-1, N-1, ..., 1, 0$, obtenemos que $$h_{N-1,j+1}+\cdots+h_{1,j+1}+h_{0,j+1} = v_{N,j}+(h_{N-1,j}+\cdots+h_{1,j}+h_{0,j})-v_{0,j}.$$ Pero tanto $v_{N,j}$ como $v_{0,j}$ son una identidad en $G$ porque vienen de los dos lados constantes de la homotopía $H$. Por lo tanto, la suma para $j$ es igual a la suma para $j+1$.
Ahora que tenemos que $h$ está bien definido en flechas, es fácil ver que es un funtor. Es claro que $h$ es el único funtor que hace conmutar $$\xymatrix{ \pi(U\cap V)\ar[r]\ar[d] & \pi U\ar[d]\ar@/^.7pc/[ddr]^f\\ \pi V\ar[r]\ar@/_.7pc/[rrd]_g & \pi X\ar@{-->}[dr]^h\\ & & G. }$$
Nota. En el siguiente teorema, usaremos el hecho de que el retracto de una protracción es una protracción; la demostración de tal hecho no tiene ninguna dificultad. La categoría donde queda definida de manera apropiada la noción de retracto de un cuadrado conmutativo en una categoría $C$ es $(C^\dos)^\dos$, la categoría de flechas de la categoría de flechas de $C$, donde $\dos$ es el ordinal $0\leq 1$.
Teorema.
Sea $X$ un espacio y sean $U,V\in\tau X$ tales que $X=U\cup V$. Sea $A\subseteq X$ tal que $A$ intersecta cada componente por trayectorias de $U\cap V,U$ y $V$. Entonces, $\pi(-A)$9 preserva la protracción \eqref{E:pushout}; es decir, el siguiente diagrama es una protracción: \begin{equation}\label{E:piApushout} \xymatrix{ \pi((U\cap V)A)\ar[r]\ar[d] & \pi(UA)\ar[d]\\ \pi(VA)\ar[r] & \pi(XA). } \end{equation}
Demostración. El diagrama \eqref{E:piApushout} es retracto del diagrama \eqref{E:pipushout}. En efecto, para $Y=U\cap V,U,V,X$, tenemos las inclusiones $i_Y:\pi(YA)\hookrightarrow\pi Y$. Ahora definamos las retracciones de la siguiente manera. Dado $x\in Y$, elíjase una trayectoria $a_x$ que va de $x$ a algún punto $a'_x\in A$ (esto lo podemos hacer por hipótesis), y si $x\in A$, hagamos $a_x$ la trayectoria cero en $x$. Entonces, $$r_Yx:=a'_x\quad\text{y}\quad r_Y[b]:=[a_y+b-a_x],$$ donde $b\in\tra X(x,y)$. Si $x\in Y\subseteq Z$ con $Z=U,V,X$, elegimos la misma trayectoria $a_x$ para definir $r_Y$ y $r_Z$. Así, $$\xymatrix{ \pi(U\cap V)\ar[r]\ar[d]\ar[rdd]^(.4){r_{U\cap V}} & \pi U\ar[d]\ar[rdd]^{r_U} & \\ \pi V\ar[r]|(.49)\hole\ar[rdd]_{r_V} & \pi X\ar[rdd]|(.49)\hole^(.38){r_X} & \\ & \pi((U\cap V)A)\ar[r]\ar[d] & \pi(UA)\ar[d]\\ & \pi(VA)\ar[r] & \pi(XA) }$$ conmuta.
Aplicaciones
Ejemplo. Sea $X$ un espacio contraíble. Entonces, $\pi X\simeq\pi\uno$; de aquí, $\pi X\cong\Indisc(X)$.
Ejemplo. Calculemos $\pi(S^1)$ usando Van Kampen; primero con Van Kampen restringido y luego con Van Kampen completo. De paso, quedará calculado que $\pi(S^1,p)\cong\Z$. Es más sencillo calcular $\pi(S^1)$ con Van Kampen restringido que con Van Kampen completo.
Sean $U:=S^1\setminus\{i\},V:=S^1\setminus\{-i\}$ y $A:=\{1,-1\}$. Entonces, $$\pi((U\cap V)A)\cong\{0,1\}$$ y, por el
Ejemplo 1, $\pi(UA)\cong\unitg\cong\pi(VA)$. De aquí, la protracción de $(j,j)$ $$\xymatrix{ \{0,1\}\ar@{^{(}->}[r]^(.6)j\ar@{^{(}->}[d]_j & \unitg\ar[d]^{ei_1} \\ \unitg\ar[r]_(.35){ei_2} & (\unitg + \unitg)/\sim, }$$ donde $i_k:\unitg\rightarrow \unitg+\unitg$ son las inyecciones del coproducto y $e=\mathbf{coig}(i_1j,i_2j)$, nos da que el 0 en el primero y segundo sumandos quedan identificados y el 1 también, salvo la flecha $\iota$ en el primer y segundo sumandos, así que se tienen dos flechas distintas $\xymatrix{0\ar@<.5ex>[r]\ar@<-.5ex>[r] & 1}$. Llamémoslas $u$ y $v$. De aquí, $$\pi(S^1,1)\cong\langle u\circ v^{-1}\rangle\cong\Z.$$ Ahora, por la
Proposición 1, $\pi(S^1,1)\cong\pi(S^1,p)$, y por la
Proposición 2, $$\pi(S^1)\cong\Z\times\Indisc(S^1).$$