$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}\newcommand{\mon}{\mathbf{Mon}} \newcommand{\ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\an}{\mathbf{An}}\newcommand{\dist}{\mathsf{Dist}} \newcommand{\lev}{\mathsf{Lev}} \newcommand{\comp}{\mathsf{Comp}} \newcommand{\ext}{\mathsf{Ext}} \newcommand{\kl}{\mathsf{Kl}} \newcommand{\wT}{\widetilde{T}} \newcommand{\wS}{\widetilde{S}} \newcommand{\wK}{\widetilde{K}} \newcommand{\wR}{\widetilde{R}} \newcommand{\wiQ}{\widetilde{Q}} \newcommand{\weta}{\tilde{\eta}} \newcommand{\wetap}{\tilde{\eta'}} \newcommand{\wmu}{\tilde{\mu}} \newcommand{\wmup}{\tilde{\mu'}} \newcommand{\hR}{\widehat{R}} \newcommand{\hepsilon}{\hat{\epsilon}} \newcommand{\hdelta}{\hat{\delta}} \newcommand{\hQ}{\widehat{Q}} \newcommand{\hepsilonp}{\hat{\epsilon'}} \newcommand{\hdeltap}{\hat{\delta'}} \newcommand{\ob}{\mathrm{Ob}} \newcommand{\alg}{\mathit{Alg}}$
Definición. Dadas dos mónadas $(S,\eta',\mu'),(T,\eta,\mu)$ sobre $A$,
una ley distributiva de $(S,\eta',\mu')$ sobre $(T,\eta,\mu)$ es una transformación natural $\lambda:ST\Rightarrow TS$ tal que los siguientes diagramas conmutan: \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ST\ar[dd]^\lambda\\ T\ar[ru]^{\eta'T}\ar[dr]_{T\eta'} & \\ & TS, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\eta'$ (CuS)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ST\ar[dd]^\lambda\\ S\ar[ur]^{S\eta}\ar[dr]_{\eta S} &\\ & TS, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\eta$ (CuT)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ SST\ar[r]^{S\lambda}\ar[d]_{\mu'T} & STS\ar[r]^{\lambda S} & TSS\ar[d]^{T\mu'}\\ ST\ar[rr]_\lambda & & TS, }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\mu'$ (CmS)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ STT\ar[r]^{\lambda T}\ar[d]_{S\mu} & TST\ar[r]^{T\lambda} & TTS\ar[d]^{\mu S}\\ ST\ar[rr]_\lambda & & TS. }}\quad\text{compatibilidad de $\lambda$ con $\mu$ (CmT)}\notag \end{equation} A CuS y a CmS lo llamamos la compatibilidad de $\lambda$ con $(S,\eta',\mu')$ y a CuT y CmT, con $(T,\eta,\mu)$. Dadas dos leyes distributivas $\lambda_T$ y $\lambda_R$ de $S$ sobre las mónadas $T$ y $R$, respectivamente, decimos que $S$
se distribuye sobre una transformación natural $\gamma:T\Rightarrow R$ con respecto a $\lambda_T$ y $\lambda_R$ si el diagrama $$\xymatrix{ ST\ar[r]^{\lambda_T}\ar[d]_{S\gamma} & TS\ar[d]^{\gamma S}\\ SR\ar[r]_{\lambda_R} & RS }$$ conmuta.
Observación. Sea $(S,\eta',\mu')$ una mónada sobre la categoría $A$. Las leyes ditributivas de $S$ sobre una mónada y los morfismos de mónadas sobre los que se distribuye $S$ forman una categoría, la cual denotaremos $\dist^S$.
Observación. Las propiedades de una transformación natural $\lambda:ST\Rightarrow TS$ que hacen de ella una ley distributiva, normalmente se expresan mediante diagramas 1-celulares; sin embargo, estos hacen los cálculos algo nebulosos a la hora de las demostraciones. Los diagramas 2-celulares resultan más claros en este caso, así que también expresaremos de manera 2-celular las cuatro propiedades de una ley distributiva (los diagramas 2-celulares se comportan de manera similar a los diagramas de cuerdas): $$\xymatrix{ & A\ar@/^1pc/[dr]^1\ar@/_1pc/[dr]_S\drtwocell<\omit>{\eta'} &\\ A\ar[ur]^T\ar[dr]_S\rrtwocell<\omit>{<2>\lambda} & & A\ar@{}|{=}[r] & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[r]^T & A,\\ & A\ar[ur]_T & }$$ $$\xymatrix{ & A\ar[dr]^S & \\ A\ar@/^1pc/[ur]^1\ar@/_1pc/[ur]_T\urtwocell<\omit>{\eta}\ar[dr]_S\rrtwocell<\omit>{<2>\lambda} & & A\ar@{}|{=}[r] & A\ar[r]^S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A,\\ & A\ar[ur]_T & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[rr]^S & & A\ar[dr]^S & & & A\ar[r]^S\ar[dr]_S\drtwocell<\omit>{<-2>\mu'} & A\ar[d]^S\\ & A\ar[dr]^S\ar[ur]^T\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar@{}|{=}[r] & A\ar[ur]^T\ar[dr]_S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\\ A\ar[ur]^S\ar@/_1pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2>\mu'}\ar[uu]^T\uurrtwocell<\omit>{<-4>\lambda} & & A\ar[ur]_T & & & A\ar[ur]_T & \,, }$$ $$\xymatrix{ & A\ar[dr]^S\ar[rr]^T\ddrrtwocell<\omit>{<-4>\lambda} & & A\ar[dd]^S & A\ar[r]^T & A\ar[dr]^S & \\ A\ar[ur]^T\ar[dr]_S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] & A\ar[u]^T\urtwocell<\omit>{<-2>\mu}\ar[dr]_S\rrtwocell<\omit>{\lambda}\ar[ur]_T & & A \\ & A\ar[ur]^T\ar@/_1pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2>\mu} & & A & & A\ar[ur]_T & \,. }$$
Definición. Dadas dos mónadas $(S,\eta',\mu'),(T,\eta,\mu)$ sobre $A$,
una mónada compuesta $TS$ es una mónada $(TS,\eta\eta',m)$ sobre $A$ tal que las transformaciones naturales $$\xymatrix{ (S,\eta',\mu')\ar[r]^(.45){\eta S} & (TS,\eta\eta',m) & (T,\eta,\mu)\ar[l]_(.4){T\eta'} }$$ son morfismos de mónadas y se cumple la ley unitaria del medio $$\xymatrix{ & TSTS\ar[dd]^m\\ TS\ar[ur]^{T\eta'\eta S}\ar[dr]_1 &\\ & TS. }$$ Dadas dos mónadas compuestas $(TS,\eta_T\eta',m_T)$, $(RS,\eta_R\eta',m_R)$, decimos que una transformación natural $\gamma:T\Rightarrow R$
se compone con $S$ si $$\xymatrix{ TSTS\ar[r]^(.49){\gamma S\gamma S}\ar[d]_{m_T} & RSRS\ar[d]^{m_R}\\ TS\ar[r]_{\gamma S} & RS }$$ conmuta. Si $\gamma$ es, además, un morfismo de mónadas, es fácil ver que $\gamma S$ es un morfismo de mónadas $(TS,\eta_T\eta',m_T)\Rightarrow (RS,\eta_R\eta',m_R)$.
Observación. Sea $(S,\eta',\mu')$ una mónada sobre $A$. Las mónadas compuestas con $S$ y los morfismos de mónadas que se componen con $S$ forman una categoría, la cual denotaremos $\comp_S$.
Observación. Si expresamos la ley unitaria del medio de manera 2-celular, esta queda así: $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar[drr]_S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[r]^T & A\ar@{}|{=}[r] & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A.\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar[urr]_T & & }$$ Y que $\eta S$ y $T\eta'$ sean morfismos de mónadas, así: $$\xymatrix{ & & & & & & A\ar[dr]^S & &\\ A\ar[r]^S\ar@/_.8pc/[drr]_S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.35)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar@{}|{=}[r] & A\ar[ur]^S\ar[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-3>\mu'} & & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.8pc/[urr]_T & & }$$ y $$\xymatrix{ & & & & & & & A\ar[dr]^T &\\ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.8pc/[drr]_S & A\ar[r]^T & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[r]^T & A\ar@{}|{=}[r] & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[ur]^T\ar[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-3>\mu} & & A,\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.8pc/[urr]_T & & }$$ respectivamente. Notemos que la parte de las unidades es simplemente considerar el diagrama $$\xymatrix{ A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\rtwocell^1_T{\eta} & A. }$$
Definición. Dadas dos mónadas $(S,\eta',\mu'),(T,\eta,\mu)$ sobre $A$,
un levantamiento de $(T,\eta,\mu)$ a $A^S$ es una mónada $(\widetilde{T},\tilde{\eta},\tilde{\mu})$ sobre $A^S$ tal que se cumplen las relaciones de conmutatividad $$G^S\widetilde{T}=TG^S,\quad G^S\tilde{\eta}=\eta G^S,\quad G^S\tilde{\mu}=\mu G^S;$$ diagramáticamente, que $$\xymatrix{ A^S\ar[rr]^{(\widetilde{T},\tilde{\eta},\tilde{\mu})}\ar[d]_{G^S} & & A^S\ar[d]^{G^S}\\ A\ar[rr]_{(T,\eta,\mu)} & & A }$$ conmuta. Dados $\wT$ y $\wR$ levantamientos de $T$ y $R$ a $A^S$, respectivamente, decimos que una transformación natural $\gamma:T\Rightarrow R$
se levanta a $A^S$ de $\wT$ a $\wR$ si $\gamma_a$ es un $S$-morfismo $\wT(a,\alpha)\rightarrow\wR(a,\alpha)$ para toda $S$-álgebra $(a,\alpha)$.
Observación. Sea $(S,\eta',\mu')$ una mónada sobre $A$. Los levantamientos de una mónada a $A^S$ y los morfismos de mónadas que se levantan a $A^S$ forman una categoría, la cual denotaremos $\lev_{S\text{-}\alg}$.
Definición. Dadas dos mónadas $(S,\eta',\mu'),(T,\eta,\mu)$ sobre $A$,
una extensión de $(S,\eta',\mu')$ a $A_T$, la categoría de Kleisli de $T$, es una mónada $(\wS,\wetap,\wmup)$ sobre $A_T$ tal que se cumplen las relaciones de conmutatividad $$F_TS=\wS F_T,\quad F_T\eta'=\wetap F_T,\quad F_T\mu'=\wmup F_T;$$ diagramáticamente, que $$\xymatrix{ A_T\ar[rr]^{(\wS,\wetap,\wmup)} & & A_T\\ A\ar[rr]_{(S,\eta',\mu')}\ar[u]^{F_T} & & A\ar[u]_{F_T} }$$ conmuta. Dadas $\wS_T$ y $\wS_R$ extensiones de $S$ a $A_T$ y $A_R$, respectivamente, decimos que una transformación natural $\gamma:T\Rightarrow R$
se extiende a $A_T$ y $A_R$ de $\wS_T$ a $\wS_R$ si $\gamma$ induce un funtor $\bar{\gamma}:A_T\rightarrow A_R$ tal que $$\xymatrix{ A_T\ar[rr]^{(\wS_T,\weta_T,\wmu_T)}\ar[d]_{\bar{\gamma}} & & A_T\ar[d]^{\bar{\gamma}}\\ A_R\ar[rr]_{(\wS_R,\weta_R,\wmu_R)} & & A_R }$$ conmuta.
Observación. Sea $(S,\eta',\mu')$ una mónada sobre $A$. Las extensiones de $(S,\eta',\mu')$ a $A_T$ para alguna mónada $T$ sobre $A$ y los morfismos de mónadas sobre $A$ que se extienden a $A_T$ y $A_R$ con $T$ y $R$ mónadas cualesquiera sobre $A$ forman una categoría, la cual denotaremos $\ext_{S\text{-}\kl}$.
Proposición. Los conceptos de ley distributiva, mónada compuesta, levantamiento y extensión son equivalentes; es decir, existen biyecciones entre (I), (II), (III) y (IV):
- leyes distributivas $\lambda:ST\Rightarrow TS$,
- las mónadas compuestas $(TS,\eta\eta',m)$ sobre $A$,
- los levantamientos $(\widetilde{T},\tilde{\eta},\tilde{\mu})$ de la mónada $(T,\eta,\mu)$ a $A^S$,
- las extensiones $(\wS,\wetap,\wmup)$ de la mónada $(S,\eta',\mu')$ a $A_T$.
Demostración. La correspondencia (I)$\rightarrow$(II) se obtiene de la siguiente manera. Dada una ley distributiva $\lambda:ST\Rightarrow TS$, esta induce la mónada compuesta $(TS,\eta\eta',\mu\mu'\cdot T\lambda S)$ (para mostrar su dependencia de $\lambda$, podemos escribirla como $(TS)_\lambda$); es decir, el funtor compuesto $TS:A\rightarrow A$ con unidad (a la izquierda) y multiplicación (a la derecha) $$\xymatrix{ & & & & & A\ar[dr]^S & &\\ A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\rtwocell^1_T{\eta} & A & & A\ar[ur]^T\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar[dr]^T & \\ & & & A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ es una mónada sobre $A$. En efecto, se tiene que $$\xymatrix{ & & A\ar[dr]^S & &\\ & A\urtwocell^1_T{\eta}\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] &\\ A\urtwocell^1_S{\eta'}\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ & & A\ar[dr]^S & &\\ & A\urtwocell^1_T{\eta}\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ & A\ar[dr]_S & & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & A\urtwocell^1_T{\eta}\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ & A\ar[dr]_S & & & &\\ & & A\ar[rr]_T & & A. }$$ También, $$\xymatrix{ & & A\drtwocell^1_S{\eta'} & &\\ & A\ar[ur]^T\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar@/^.7pc/[dr]^1\ar@/_.7pc/[dr]_(.6)T\drtwocell<\omit>{\eta} & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ & & A\drtwocell^1_S{\eta'} & &\\ & A\ar[ur]^T\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T & & }$$ $$\xymatrix{ & A\ar@/^.7pc/[dr]^1\ar@/_.7pc/[dr]_(.6)S\drtwocell<\omit>{\eta'} & & A & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-1.5>\mu'} & & A\ar[ur]_T & & }$$ $$\xymatrix{ & & & A & \\ A\ar[rr]_S & & A\ar[ur]_T &\,. & }$$ Finalmente, $$\xymatrix{ A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A\ar[dr]^S & &\\ A\ar[r]^S\urtwocell<\omit>{\lambda}\ar[u]^T & A\ar[u]^T\urtwocell<\omit>{<-2>\mu}\ar[ur]_T\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[u]^S\urtwocell<\omit>{<-2>\mu'}\ar[ur]_S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S & A\ar[r]^T\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{<4>\lambda} & A\ar[dr]^S & &\\ A\ar[r]^S\urtwocell<\omit>{\lambda}\ar[u]^T & A\ar[u]^T\ar[dr]_(.6)S\rtwocell<\omit>{\lambda} & A\ar[r]^T & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[u]^S\urtwocell<\omit>{<-2>\mu'}\ar[ur]_S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[u]^T\urtwocell<\omit>{<-2>\mu}\ar[ur]_T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S & A\ar[r]^T\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{<4>\lambda} & A\ar[dr]^S & &\\ A\ar[r]^S\urtwocell<\omit>{\lambda}\ar[u]^T\ar[drr]_S\drtwocell<\omit>{<-3.3>\mu'}\drtwocell<\omit>{<1.5>\mu'} & A\ar[u]^T\ar[dr]^S\rtwocell<\omit>{\lambda} & A\ar[r]^T\ar[drr]_T\drtwocell<\omit>{<-3.3>\mu}\drtwocell<\omit>{<1.5>\mu} & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[u]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S & & A\ar[u]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T & & A }$$ $$\xymatrix{ & & A\ar[dr]_S\ar[r]^S\drtwocell<\omit>{<-2>\mu'} & A\ar[r]^T\ar[d]^S\drtwocell<\omit>{\lambda} & A\ar[d]^S\\ & A\ar[ur]_T\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar[dr]_T\ar[r]^T\drtwocell<\omit>{<-2>\mu} & A\ar[d]^T \\ A\ar[ur]_S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A. }$$
Ahora veamos que \begin{align} \eta S &:(S,\eta',\mu')\Rightarrow(TS,\eta\eta',\mu\mu'\cdot T\lambda S),\notag\\ T\eta' &:(T,\eta,\mu)\Rightarrow(TS,\eta\eta',\mu\mu'\cdot T\lambda S)\notag \end{align} son morfimos de mónadas. Tenemos que $$\xymatrix{ & & A\ar[dr]^S & &\\ & A\urtwocell^1_T{\eta}\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar@/^.7pc/[dr]^1\ar@/_.7pc/[dr]_(.6)T\drtwocell<\omit>{\eta} & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ & & A\ar[dr]^S & &\\ & A\urtwocell^1_T{\eta}\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A \ar@{}|{=}[r] &\\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T & }$$ $$\xymatrix{ & A\ar[dr]^S & & A \\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\urtwocell^1_T{\eta} &\,. }$$ Similarmente, $T\eta'$ es morfismo de mónadas.
Finalmente, mostremos que se cumple la ley unitaria del medio. En efecto, $$\xymatrix{ & & A\drtwocell^1_S{\eta'} & &\\ & A\urtwocell^1_T{\eta}\ar[dr]^S\rrtwocell<\omit>{\lambda} & & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A }$$ $$\xymatrix{ & A\ar@/^.7pc/[dr]^1\ar@/_.7pc/[dr]_(.6)S\drtwocell<\omit>{\eta'} & & A\ar[dr]^T & \ar@{}|{=}[dr] & \\ A\ar[ur]^S\ar@/_.5pc/[rr]_S\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu'} & & A\urtwocell^1_T{\eta}\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[rr]_S & & A\ar[rr]_T & & A. & }$$
Obtengamos la correspondencia (II)$\rightarrow$(I). Dado $m:TSTS\Rightarrow TS$, defínase $\lambda$ como la composición $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.6)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.8pc/[drr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & \rrtwocell<\omit>{<-4>m}& A\ar@/_.8pc/[urr]_T & & },$$ y veamos que cumple las condiciones de compatiblidad con la unidad y multiplicación de $S$ y $T$. Se tiene que $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.6)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.8pc/[drr]_S & A\ar[r]^T & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar@{}|{=}[dr] &\\ & \rrtwocell<\omit>{<-4>m}& A\ar@/_.8pc/[urr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ & & A\ar@/^.7pc/[dr]^1\ar@/_.7pc/[dr]_(.6)T\drtwocell<\omit>{\eta} & \ar@{}|{=}[dr] & \\ A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[ur]^T\ar@/_.5pc/[rr]_T\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\mu} & & A & }$$ $$\xymatrix{ A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[rr]_T& & A. & }$$ La compatibilidad con la otra unidad se obtiene de manera similar. Ahora, la compatibilidad con la multiplicación de $S$ se sigue de que $$\xymatrix{ & & & A\ar[dr]^S & &\\ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[drr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[rr]_S\ar[ur]^S\rrtwocell<\omit>{<-3>\mu'} & & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar@{}|{=}[r] &\\ & & A\ar@/_1pc/[urrr]_T\rtwocell<\omit>{<-3.5>m} & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[ddrrr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S\ar@/_.7pc/[drr]_S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & & & \rrtwocell<\omit>{<-3>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]_(.4)T & & \ar@{}|{=}[r] & \\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4.5>m}& A\ar@/_1.5pc/[uurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.7)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_1.5pc/[ddrrr]_S\ar@/_.7pc/[drr]_(.6)S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]_T & & & & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4.5>m}& A\ar@/_.7pc/[uurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.7)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_3pc/[dddrrr]_S\ar[dr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & A\rtwocell^1_T{\eta}\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.8pc/[drr]_S & A\ar[ur]_T\rrtwocell<\omit>{m} & & & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & & & A\ar@/_.7pc/[uurr]^T & &\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4.5>m}& A\ar@/_3pc/[uuurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.7)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_3pc/[ddddrrr]_S\ar[dr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & A\rtwocell^1_T{\eta}\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[dr]^(.65)S\ar@/_2pc/[ddrr]_S & A\ar[ur]_T\rrtwocell<\omit>{m} & & & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar@/_.7pc/[uur]^T &\\ & & & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_3pc/[uuurr]_T & &\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4.5>m}& A\ar@/_5pc/[uuuurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.7)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_4pc/[ddddrrr]_S\ar[dr]_(.6)S\ar@/_1.5pc/[dddrr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & A\rtwocell^1_T{\eta}\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[dr]^(.65)S & A\ar[ur]_T\rrtwocell<\omit>{m} & & & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar@/_.7pc/[uur]^T &\\ & \rrtwocell<\omit>{<-5.5>m}& A\ar@/_1.5pc/[urr]_T & & & &\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4>m}& A\ar@/_3.5pc/[uuuurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.7)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_2.5pc/[dddrrr]_S\ar@/_.7pc/[drr]^(.6)S\ar@/_2pc/[ddrrr]_S & A\ar[r]^T\ddrrtwocell<\omit>{<3.5>\mu'} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[dr]^(.65)S & A\ar[ur]_T\rrtwocell<\omit>{m} & & & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar@/_.7pc/[uur]^T &\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4>m}& A\ar@/_3.5pc/[uuurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.7)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[drr]^(.6)S\ar@/_2pc/[ddrrr]_S & A\ar[r]^T\ddrrtwocell<\omit>{<3.5>\mu'} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.4)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[dr]^(.65)S & A\ar[ur]_T\rrtwocell<\omit>{m} & & &\\ & & & A\ar@/_2pc/[uurrr]_T & & &\,. }$$ La compatibilidad con la multiplicación de $T$ se obtiene de manera similar.
La composición (I)$\rightarrow$(II)$\rightarrow$(I) claramente es la identidad: $m:=\mu\mu'\cdot T\lambda S$, y para ver que $\mu\mu'\cdot T\lambda S\cdot\eta ST\eta'=\lambda$, considérese el diagrama $$\xymatrix{ A\rrtwocell^1_S{\eta'}\ar@/_1pc/[drrr]_S & & A\ar[r]^T\ar[dr]_S & A\ar[r]^S & A\rrtwocell^1_T{\eta} & & A\\ & \rtwocell<\omit>{<-4>\mu'}& \rrtwocell<\omit>{<-4.3>\lambda}& A\ar@/_1pc/[urrr]_T\ar[ur]_T &\rtwocell<\omit>{<-4>\mu} & &\,. }$$
Veamos que la composición (II)$\rightarrow$(I)$\rightarrow$(II) es la identidad. Tenemos que $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_.7pc/[drr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A\ar@{}|{=}[dr] &\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_.7pc/[drr]_S\ar@/_2pc/[ddrrr]_S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A\\ & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]_T & & & & \ar@{}|{=}[r] & \\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4>m}& A\ar@/_2pc/[uurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_2pc/[ddrrr]_S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[drr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A\\ & & & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]_T & & \ar@{}|{=}[r] & \\ & & \rrtwocell<\omit>{<-4>m}& A\ar@/_2pc/[uurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_3pc/[dddrrr]_S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar[dr]_(.6)S\ar@/_2pc/[ddrr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A\\ & & & A\rtwocell^1_T{\eta} \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[ur]^T & \ar@{}|{=}[r] & \\ & & & \rrtwocell<\omit>{<-3>m}& A\ar@/_2pc/[uurr]_(.3)T & &\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_3pc/[uuurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_3pc/[dddrrr]_S\ar@/_1.5pc/[ddrr]^S & A\rtwocell^1_T{\eta} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar[dr]_(.6)S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A\\ & & & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.35)T\rtwocell<\omit>{\eta} \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[ur]^T & \ar@{}|{=}[r] & \\ & \rrtwocell<\omit>{<-5>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]_T & & & &\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_3pc/[uuurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[rr]^S\ar@/_2pc/[ddrrr]_S\ar@/_1pc/[drrr]_S & \drtwocell<\omit>{<-1>\mu'}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar[dr]_(.6)S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A\\ & & & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.35)T\rtwocell<\omit>{\eta} \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[ur]^T & \ar@{}|{=}[r] & \\ & & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_2pc/[uurrr]_T & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_1pc/[drr]_S\drrtwocell<\omit>{\mu'} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar[dr]_(.6)S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar[r]^T & A &\\ & & A\ar@/_1pc/[urrr]_T\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& & & \ar@{}|{=}[ur] & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_1pc/[ddrr]_S\ddrrtwocell<\omit>{\mu'} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar[ddr]_S\ar@/_.7pc/[drr]_S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.35)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[r]^T & A\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]_T & & & & \ar@{}|{=}[r] &\\ & & A\ar@/_3pc/[uurrrrr]_T\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& & & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_1.5pc/[dddrr]_S\ddrrtwocell<\omit>{<1>\mu'} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar[dddr]_S\ar[dr]_(.7)S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.35)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\rtwocell^1_S{\eta'} & A\ar[r]^T & A\\ & & A\rtwocell^1_T{\eta}\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[drr]_S & A\ar[ur]_T & & & \ar@{}|{=}[r] & \\ & & & & \rrtwocell<\omit>{<-5>m}& A\ar@/_.7pc/[uurr]^T & & \\ & & A\ar@/_4pc/[uuurrrrr]_T\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& & & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_1.5pc/[ddrr]_S\ddrrtwocell<\omit>{\mu'} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar[ddr]_S\ar[dr]^(.7)S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[rr]^T & & A\\ & & A\rtwocell^1_T{\eta}\rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'} & A\ar[ur]^(.25)T\ar[urrr]_T\urrtwocell<\omit>{<-.5>\mu} & & & \ar@{}|{=}[r] & \\ & & A\ar@/_2pc/[uurrrrr]_T\rrtwocell<\omit>{<-3>m}& & & & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^S\ar@/_1pc/[drrr]_S\drrtwocell<\omit>{<-1>\mu'} & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.65)S\rtwocell<\omit>{\eta'}\ar@/_.7pc/[drr]^(.6)S & A\ar[r]^T & A\ar[r]^S & A\ar@/^.7pc/[r]^1\ar@/_.7pc/[r]_(.3)T\rtwocell<\omit>{\eta} & A\ar[r]^T & A\\ & & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>m}& A\ar@/_.7pc/[urr]^(.4)T\ar@/_1pc/[urrr]_T &\urrtwocell<\omit>{<-1>\mu} & &\,. }$$
La correspondencia (I)$\rightarrow$(III) se obtiene de la siguiente manera. Una ley distributiva $\lambda:ST\Rightarrow TS$ induce un levantamiento de la mónada $T$ a la categoría $A^S$ de $S$-álgebras. Dadas las $S$-álgebras $(a,\alpha),(a',\alpha')$ y el $S$-morfismo $f:(a,\alpha)\rightarrow(a',\alpha')$, el levantamiento $(\wT,\weta,\wmu):A^S\rightarrow A^S$ sobre $A^S$ se define como \begin{align} \wT(a,\alpha)\overset{\wT f\, }{\rightarrow}\wT(a',\alpha') &:=(Ta,T\alpha\circ\lambda a)\overset{Tf\,}{\rightarrow}(Ta',\alpha'\circ\lambda a')\notag \\ \weta(a,\alpha) &:=\eta a:(a,\alpha)\rightarrow\widetilde{T}(a,\alpha)\notag\\ \wmu(a,\alpha) &:=\mu a:\widetilde{T}\widetilde{T}(a,\alpha)\rightarrow\widetilde{T}(a,\alpha).\notag \end{align} De la compatibilidad de $\lambda$ con $(S,\eta',\mu')$, de que $(a,\alpha)$ es una $S$-álgebra y de la naturalidad de $\lambda$, se tiene que $(Ta,T\alpha\circ\lambda a)$ es una $S$-álgebra: $$\xymatrix{ & & STa\ar[d]^{\lambda a} & & SSTa\ar[r]^{S\lambda a}\ar[dd]_{\mu'Ta} & STSa\ar[r]^{ST\alpha}\ar[d]_{\lambda Sa} & STa\ar[d]^{\lambda a}\\ Ta\ar[urr]^{\eta' Ta}\ar[rr]^(.55){T\eta'a}\ar[drr]_{1_{Ta}} & & TSa \ar[d]^{T\alpha} & & & TSSa\ar[r]^{TS\alpha}\ar[d]_{T\mu' a} & TSa\ar[d]^{T\alpha}\\ & & Ta, & & STa\ar[r]_{\lambda a} & TSa\ar[r]_{T\alpha} & Ta. }$$ De la naturalidad de $\lambda$ y de que $f$ es un $S$-morfismo, se sigue que $\wT f$ es un $S$-morfismo: $$\xymatrix{ STa\ar[r]^{STf}\ar[d]_{\lambda a} & STa'\ar[d]^{\lambda a'}\\ TSa\ar[r]^{TSf}\ar[d]_{T\alpha} & TSa'\ar[d]^{T\alpha'}\\ Ta\ar[r]_{Tf} & Ta'. }$$ De la compatibilidad de $\lambda$ con $(T,\eta,\mu)$, la naturalidad de $\eta$ y $\mu$, se sigue que $\tilde{\eta},\tilde{\mu}$ son morfismos de $S$-álgebras: $$\xymatrix{ Sa\ar[r]^{S\eta a}\ar[dr]_{\eta Sa}\ar[dd]_\alpha & STa\ar[d]^{\lambda a} & & STTa\ar[r]^{S\mu a}\ar[d]_{\lambda Ta} & STa\ar[dd]^{\lambda a}\\ & TSa\ar[d]^{T\alpha} & & TSTa\ar[d]_{T\lambda a} &\\ a\ar[r]_{\eta a} & Ta, & & TTSa\ar[r]^(.55){\mu Sa}\ar[d]_{TT\alpha} & Tsa\ar[d]^{T\alpha}\\ & & & TTa\ar[r]_{\mu a} & Ta. }$$
Obtengamos la correspondencia (III)$\rightarrow$(I). Si $(\wT,\weta,\wmu)$ es levantamiento de $(T,\eta,\mu)$, definimos $\lambda$ como la composición $$\xymatrix@C=.5cm{ ST\ar[r]^(.18){ST\eta'} & STS=STG^SF^S=G^SF^SG^S\wT F^S\ar[rr]^(.57){G^S\epsilon^S\wT F^S} & & G^S\wT F^S=TG^SF^S=TS. }$$ Veamos que $\lambda$ en efecto cumple CuS, CuT, CmS y CmT. Recordemos que $$\eta'=\eta^S,\quad \mu'=G^S\epsilon^SF^S,\quad G^SF^S=S,$$ $$F^Sa=(Sa,\mu'a)\quad\text{y}\quad\epsilon^S(a,\alpha)=\alpha.$$ Ahora, CuS se sigue de la conmutatividad de $$\xymatrix{ T\ar[rr]^{\eta'T}\ar[d]_{T\eta'} & & ST\ar[d]^{ST\eta'}\\ TS\ar[rr]^{\eta'TS}_{\eta'G^S\wT F^S}\ar@/_.7pc/[drr]_{1_{TS}} & & STS\ar[d]^{G^S\epsilon^S\wT F^S}\\ & & TS, }$$ CuT se sigue de la conmutatividad de $$\xymatrix{ S\ar[rr]^{S\eta}\ar[d]_{S\eta'}\ar[drr]^{S\eta\eta'} & & ST\ar[d]^{ST\eta'}\\ SS\ar[rr]^{S\eta S}_{SG^S\weta F^S}\ar[d]_{\mu'}^{G^S\epsilon^SF^S} & & STS\ar[d]^{G^S\epsilon^S\wT F^S}\\ S\ar[rr]^{G^S\weta F^S}_{\eta S} & & TS. }$$
Ahora, como $$\xymatrix{ SSa\ar[r]^{S\alpha}\ar[d]_{\mu'a} & Sa\ar[d]^\alpha\\ Sa\ar[r]_\alpha & a }$$ conmuta para toda $S$-álgebra $(a,\alpha)$, el diagrama $$\xymatrix{ SSG^S\ar[rr]^{SG^S\epsilon^S}\ar[d]_{\mu'G^S} & & SG^S\ar[d]^{G^S\epsilon^S}\\ SG^S\ar[rr]_{G^S\epsilon^S} & & G^S }$$ conmuta. De aquí, se sigue CmS, pues $$\xymatrix{ SST\ar[r]^{SST\eta'}\ar[dd]_{\mu'T} & SSTS\ar[rr]^(.55){SG^S\epsilon^S\wT F^S}\ar[dd]^{\mu'G^S\wT F^S}_(.51){\mu'TS} & & STS\ar[r]^{ST\eta'S}\ar[dr]_1 & STSS\ar[rr]^(.53){G^S\epsilon^S\wT F^SS}\ar[d]^{ST\mu'} & & TSS\ar[dd]^{T\mu'}\\ & & & & STS\ar[drr]|(.499)\hole_(.4){G^S\epsilon^S\wT F^S} & &\\ ST\ar[r]_{ST\eta'} & STS\ar[rrrrr]_{G^S\epsilon^S\wT F^S} & & & & & TS }$$ conmuta.
También se tiene que $\lambda$ cumple CmT, pues el digrama $$\xymatrix{ STT\ar[r]^{ST\eta'T}\ar[dr]^(.6){STT\eta'}\ar[ddd]_{S\mu} & STST\ar[rr]^{G^S\epsilon^S\wT F^S T}\ar[drr]|(.43){SG^S\wT F^ST\eta'} & & TST\ar[r]^(.45){TST\eta'} & TSTS\ar[rr]^{TG^S\epsilon^S\wT F^S} & & TTS\ar[ddd]^{\mu S}\\ & STTS\ar[rr]_(.45){ST\eta'TS}^(.41){ST\eta'G^S\wT F^S}\ar[dd]_(.51){S\mu S}^{SG^S\wmu F^S} \ar[drr]|(.555){G^S\epsilon^S\wT\wT F^S} & & SG^S\wT F^STS \ar[ur]|(.59){G^S\epsilon^S\wT F^STS}\ar[rr]^(.55){STG^S\epsilon^S\wT F^S} & & STTS\ar[ur]^(.48){G^S\epsilon^S\wT\wT F^S} &\\ & & & G^S\wT\wT F^S\ar[drrr]_(.45){G^S\wmu F^S}^(.44){\mu S} & & &\\ ST\ar[r]_{ST\eta'} & STS\ar[rrrrr]_(.45){G^S\epsilon^S\wT F^S} & & & & & TS }$$ conmuta por la identidad triangular $G^S\epsilon^S\cdot\eta'G^S=1$ y porque $G^S\wmu=\mu G^S$.
Entonces (I)$\rightarrow$(III)$\rightarrow$(I) es la identidad. En efecto, como partimos de (I), $$G^S\epsilon^S\wT F^Sa=T\mu'a\circ\lambda Sa.$$ Así que el diagrama $$\xymatrix{ STa\ar[rr]^{ST\eta'a}\ar[drr]_{\lambda a} & & STSa\ar[d]^{T\mu'a\circ\lambda Sa}\\ & & TSa }$$ conmuta por la conmutatividad de $$\xymatrix{ & STa\ar[dl]_{S\eta'Ta}\ar[d]^{ST\eta'a} &\\ SSTa\ar[r]^{S\lambda a}\ar[d]_{\mu'Ta} & STSa\ar[r]^{\lambda Sa} & TSSa\ar[d]^{T\mu'a}\\ STa\ar[rr]_{\lambda a}& & TSa. }$$
La composición (III)$\rightarrow$(I)$\rightarrow$(III) es la identidad. En efecto, sea $(a,\alpha)$ una $S$-álgebra, y sean $\wT$ un levantamiento y $\wT'$ el que obtenemos al aplicar (III)$\rightarrow$(I)$\rightarrow$(III) a $\wT$. Para ver que $\wT(a,\alpha)=\wT'(a,\alpha)$, basta verificar que las $S$-álgebras $\wT(a,\alpha)$ y $\wT'(a,\alpha)$ tienen el mismo mapeo de estructura, lo cual podemos ver mediante la transformación natural $G^S\epsilon^S$ por cómo está definida $\epsilon^S$. Es decir, basta checar que $$G^S\epsilon^S\wT(a,\alpha)=G^S\epsilon^S\wT'(a,\alpha);$$ más precisamente, que $$G^S\epsilon^S\wT(a,\alpha)=T\alpha\circ G^S\epsilon^S\wT(Sa,\mu' a)\circ ST\eta'a.$$ Ya que $\alpha:(Sa,\mu'a)\rightarrow(a,\alpha)$ es un $S$-morfismo, de la naturalidad de $G^S\epsilon^S\wT$ y de que $(a,\alpha)$ es una $S$-álgebra, se sigue la conmutatividad del diagrama $$\xymatrix{ & STSa\ar[rr]^(.53){G^S\epsilon^S\wT(Sa,\mu'a)}\ar[d]_(.6){ST\alpha}^(.57){SG^S\wT\alpha} & & TSa\ar[d]_(.47){G^S\wT\alpha}^{T\alpha}\\ STa\ar[ur]^{ST\eta'a}\ar[r]_1 & STa\ar[rr]_{G^s\epsilon^S\wT(a,\alpha)} & & Ta. }$$ Es claro que $\wT$ y $\wT'$ coinciden en las flechas.
La correspondencia (I)$\rightarrow$(IV) se obtiene de la siguiente manera. Una ley distributiva $\lambda:ST\Rightarrow TS$ induce una extensión de la mónada $(S,\eta',\mu')$ a la categoría $A_T$, la categoría de Kleisli de $T$ (véase \citet[p. 147]{sM1998}); recuérdese que \begin{align} \ob(A_T) &=\ob(A),\notag\\ A_T(a_T,b_T) &=A(a,Tb),\notag\\ 1_{a_T} &=\eta a,\notag\\ g_T\circ f_T &=\mu c\circ Tg\circ f\notag, \end{align} donde $f:a\rightarrow Tb$ y $g:b\rightarrow Tc$, y $f_T$ es la flecha correspondiente a $f$ en $A_T$. Así que, dada $f:a\rightarrow Tb$, la extensión $(\wS,\wetap,\wmup):A_T\rightarrow A_T$ sobre $A_T$ se define como \begin{align} \wS a &:= Sa,\notag \\ \wS(f:a\rightarrow Tb) &:= \lambda b\circ Sf:Sa\rightarrow TSb,\notag\\ \wetap a &:=\eta Sa\circ\eta' a:a\rightarrow TSa,\notag\\ \wmup a &:=\eta Sa\circ\mu' a:SSa\rightarrow TSa\notag. \end{align} Se tiene que $\wS$ es funtor, pues los diagramas $$\xymatrix{ & STa\ar[dd]^{\lambda a}\\ Sa\ar[ur]^{S\eta a}\ar[dr]_{\eta Sa} &\\ & TSa }$$ y $$\xymatrix{ Sa\ar[r]^{Sf} & STb\ar[r]^{STg}\ar[d]_{\lambda b} & STTc\ar[r]^{S\mu c}\ar[d]_{\lambda Tc} & STc\ar[dd]^{\lambda c}\\ & TSb\ar[r]_{TSg} & TSTc\ar[d]_{T\lambda c} & \\ & & TTSc\ar[r]_{\mu Sc} & TSc }$$ conmutan; es decir, \begin{align} \wS 1_{a_T} &=1_{(Sa)_T}\quad\text{y}\notag\\ \wS(g_T\circ f_T) &=\wS g_T\circ\wS f_T\notag. \end{align}
Veamos ahora que $\wetap$ y $\wmup$ son transformaciones naturales. Tenemos que $$\xymatrix{ a\ar[r]^{\eta' a}\ar[d]_f & Sa\ar[r]^{\eta Sa}\ar[d]_{Sf} & TSa\ar[d]^{TSf}\\ Tb\ar[r]^{\eta'Tb}\ar[dr]_{T\eta'b} & STb\ar[r]^{\eta STb}\ar[d]_(.4){\lambda b} & TSTb\ar[d]^{T\lambda b}\\ & TSb\ar[r]^{\eta TSb}\ar[dr]_{1_{TSb}} & TTSb\ar[d]^{\mu Sb}\\ & & TSb }$$ conmuta; de donde, $$\xymatrix{ a_T\ar[r]^{\wetap a}\ar[d]_{f_T} & \wS a_T\ar[d]^{\wS f_T}\\ b_T\ar[r]_{\wetap b} & \wS b_T }$$ conmuta y, por lo tanto, $\wetap$ es natural.
Por otro lado, el siguiente diagrama conmuta: $$\xymatrix{ SSa\ar[r]^{\mu'a}\ar[d]_{SSf} & Sa\ar[r]^{\eta Sa}\ar[d]_{Sf} & TSa\ar[d]^{TSf}\\ SSTb\ar[r]_{\mu'Tb}\ar[d]_{S\lambda b} & STb \ar[r]_{\eta STb}\ar[d]_{\lambda b} & TSTb\ar[d]^{T\lambda b}\\ STSb\ar[d]_{\lambda Sb} & TSb\ar[r]_{\eta TSb}\ar[dr]_{1_{TSb}} & TTSb\ar[d]^{\mu Sb}\\ TSSb\ar[rr]_{T\mu'b} & & TSb; }$$ de donde, el diagrama $$\xymatrix{ \wS\wS a_T\ar[r]^{\wmup a_T}\ar[d]_{\wS\wS f_T} & \wS a_T\ar[d]^{\wS f_T}\\ \wS\wS b_T\ar[r]_{\wmup b_T} & \wS b_T }$$ conmuta; es decir, $\wmup$ es natural.
Ahora veamos que $(\wS,\wetap,\wmup)$ es una mónada. Se tiene que los diagramas $$\xymatrix{ Sa\ar[r]^{S\eta'a}\ar[dr]_{\eta Sa} & SSa\ar[r]^{S\eta Sa}\ar[dr]_{\eta SSa} & STSa\ar[d]^{\lambda Sa}\\ & TSa\ar[r]_{TS\eta'a}\ar[dr]_{1_{TSa}} & TSSa\ar[d]^{T\mu'a}\\ & & TSa\ar[d]^{T\eta Sa}\ar@/_2pc/[dd]_{1_{TSa}}\\ & & TTSa\ar[d]^{\mu Sa}\\ & & TSa }$$ y $$\xymatrix{ Sa\ar[r]^{\eta'Sa}\ar[dr]_{\eta Sa} & SSa\ar[r]^{\eta SSa} & TSSa\ar[d]^{T\mu'a}\\ & TSa\ar[ur]^(.45){T\eta'Sa}\ar[r]_{1_{TSa}} & TSa\ar[d]^{T\eta Sa}\ar@/_2pc/[dd]_{1_{TSa}}\\ & & TTSa\ar[d]^{\mu Sa}\\ & & TSa }$$ conmutan; de donde, $$\xymatrix{ \wS\ar[r]^{\wS\wetap}\ar[dr]_1 & \wS\wS\ar[d]^(.4){\wmup} & \wS\ar[l]_(.4){\wetap\wS}\ar[dl]^1\\ & \wS & }$$ conmuta. Por otro lado, $$\xymatrix{ SSSa\ar[r]^{S\mu'a} & SSa\ar[r]^{S\eta Sa}\ar[dr]_{\eta SSa} & STSa\ar[d]^{\lambda Sa}\\ & & TSSa\ar[d]^{T\mu'a}\\ & & TSa }$$ también conmuta; de donde, también lo hace $$\xymatrix{ \wS\wS\wS\ar[r]^{\wS\wmup}\ar[d]_{\wmup\wS} & \wS\wS\ar[d]^{\wmup}\\ \wS\wS\ar[r]_{\wmup} & \wS. }$$ Por lo tanto, $(\wS,\wetap,\wmup)$ es una mónada sobre $A_T$.
Finalmente, veamos que en efecto $(\wS,\wetap,\wmup)$ es una extensión de $(S,\eta',\mu')$ a $A_T$. Es claro que $\wS F_Ta=F_TSa$. Por la compatibilidad de $\lambda$ con $\eta$, dado $f:a\rightarrow b$, se tiene que $\wS F_Tf=F_TSf$. Las igualdades $\wetap F_T=F_T\eta'$ y $\wmup F_T=F_T\mu'$ son triviales.
La correspondencia (IV)$\rightarrow$(I) la podemos obtener de la siguiente manera. Sea $(\wS,\wetap,\wmup)$ una extensión de $(S,\eta',\mu')$ a $A_T$ y defínase $\lambda$ como $$\xymatrix@C=.5cm{ ST\ar[r]^(.18){\eta ST} & TST=G_TF_TST=G_T\wS F_TG_TF_T\ar[rr]^(.57){G_T\wS\epsilon_TF_T} & & G_T\wS F_T=G_TF_TS=TS, }$$ o en forma 2-celular $$\xymatrix{ A\ar[dr]_{F_T} & & A\ar[rr]^S\ar[dr]^{F_T} & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ & A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]_{\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} &\,. }$$ Recordemos que $\eta=\eta_T$, $G_TF_T=T$ y que $$\xymatrix{ A\ar[dr]_{F_T} & & A\ar[dr]^{F_T} & & A\ar@{}|{=}[dr] & & A\ar[r]^{G_T} & A\ar[r]^{F_T} & A\ar[dr]^{G_T} & \\ & A_T\ar[ur]^{G_T}\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T}\ar[rr]_1 & & A_T\ar[ur]_{G_T} & & A\ar[ur]^{F_T}\ar[rr]_{F_T} & \rrtwocell<\omit>{<-3.5>\mu}& A\ar[rr]_{G_T} & & A. }$$
Entonces, como $$\xymatrix{ A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\ar[rr]^S\ar[dr]^{F_T} & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\ar@{}|{=}[dr] &\\ & A_T\ar[ur]_(.4){G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]_{\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[rr]^S & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ & & & A_T\ar[ur]_{G_T} & \,, }$$ $\lambda$ es compatible con la unidad de $T$. Como $$\xymatrix{ A\ar[dr]_{F_T} & & A\rrtwocell^1_S{\eta'}\ar[dr]^(.7){F_T} & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\ar@{}|{=}[dr] &\\ & A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]_{\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[dr]_{F_T} & & A\ar[rr]^1\ar[dr]^(.7){F_T} & & A\ar[dr]_(.2){F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\ar@{}|{=}[dr] &\\ & A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\rrtwocell^1_{\wS}{\wetap} & & A_T\ar[ur]_{G_T} & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^{F_T}\ar@/_.7pc/[dr]_{F_T} & A_T\ar[r]^{G_T} & A\ar[r]_{F_T}\ar@/^2pc/[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<-2.5>\eta} & A_T\ar[r]_{G_T} & A\ar@{}|{=}[dr] &\\ & A_T\rrtwocell^1_{\wS}{\wetap}\rrtwocell<\omit>{<-5>\mu} & & A_T\ar@/_.7pc/[ur]_{G_T} & & }$$ $$\xymatrix{ A\ar[r]^{F_T} & A_T\rrtwocell^1_{\wS}{\wetap} & & A_T\ar[r]^{G_T} & A\ar@{}|{=}[r] & }$$ $$\xymatrix{ A\rrtwocell^1_S{\eta'} & & A\ar[r]^{F_T} & A\ar[r]^{G_T} & A, }$$ $\lambda$ es compatible con la unidad de $S$.
La compatibilidad de $\lambda$ con la multiplicación $\mu$ de $T$ se sigue de que $$\xymatrix{ & & A\ar[dr]^{F_T}\ar[rr]^S & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ & A_T\ar[ur]^{G_T}\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T}\ar[rr]_1 & & A_T\ar[rr]_{\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} & \ar@{}|{=}[ddr] & \\ & A\ar[u]^{F_T}\ar[rr]^S\ar[dr]^{F_T} & & A\ar[rr]^1\ar[dr]_{F_T}\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\ar[u]^{F_T} & &\\ A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]_{\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T}\ar@/_5pc/[uur]_1\uurtwocell<\omit>{<7.5>\epsilon_T} & & &\\ A\ar[u]^{F_T}\ar[rr]_S & & A\ar[urr]_{F_T} & & & & }$$ $$\xymatrix{ & & A\ar[dr]^{F_T}\ar[rr]^S & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ & A_T\ar[ur]^{G_T}\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T}\ar[rr]_1 & & A_T\ar[rr]_{\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} & \ar@{}|{=}[ddr] & \\ & A\ar[u]^{F_T}\ar[rr]^S\ar[dr]^{F_T} & & A\ar[urr]^(.4){F_T} & & & &\\ A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar@/_1pc/[uurrr]_{\wS} & & & & &\\ A\ar[u]^{F_T}\ar[rr]_S & & A\ar@/_2pc/[uuurrr]_{F_T} & & & & }$$ $$\xymatrix{ & A\ar[dr]^{F_T} & & A\ar[dr]^{F_T}\ar[rr]^S & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[ur]^{G_T}\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T}\ar[rr]_1 & & A_T\ar[rr]_{\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} &\\ A\ar[u]^{F_T}\ar[rr]_S & & A\ar@/_1pc/[urrrr]_{F_T} & & & & &\,. }$$
Y la compatibilidad de $\lambda$ con la multiplicación $\mu'$ de $S$ se sigue de que $$\xymatrix@C=.6cm{ & A\ar[dr]^{F_T}\ar[rr]^S & & A\ar[rr]^1\ar[dr]_{F_T}\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\ar[dr]^{F_T}\ar[rr]^S & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]^(.4){\wS} & & A_T\ar[ur]_(.4){G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]^(.4){\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[u]^{F_T}\ar[rr]_S\ar@/_3pc/[rrrr]_S & \rrtwocell<\omit>{<4>\mu'}& A\ar[urr]_{F_T}\ar[rr]_S & & A\ar[urrrr]_{F_T} & & & & & }$$ $$\xymatrix@C=.6cm{ & A\ar[dr]^{F_T}\ar[rr]^S & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^S & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]^(.4){\wS}\ar@/_2pc/[rrrr]_(.3){\wS} & \rrtwocell<\omit>{<2.8>\mu'}& A_T\ar[rr]^(.4){\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} & \ar@{}|{=}[r] & \\ A\ar[u]^{F_T}\ar[rrrr]_S & & & & A\ar@/_.7pc/[urr]_{F_T} & & & }$$ $$\xymatrix@C=.6cm{ & & A\ar[dr]^S & & &\\ & A\ar[dr]^{F_T}\ar[rr]_(.6)S\ar[ur]^S\rrtwocell<\omit>{<-3>\mu'} & & A\ar[dr]_{F_T}\ar[rr]^1\rrtwocell<\omit>{<3>\eta} & & A\\ A_T\ar[ur]^{G_T}\ar[rr]_1\rrtwocell<\omit>{<-3>\epsilon_T} & & A_T\ar[rr]^(.4){\wS} & & A_T\ar[ur]_{G_T} &\\ A\ar[u]^{F_T}\ar[rr]_S & & A\ar[urr]_{F_T} & & &\,. }$$
La composición (I)$\rightarrow$(IV)$\rightarrow$(I) es la identidad. En efecto, recordemos que \begin{align} F_T x &= x,\notag\\ G_T(f:a\rightarrow Tb) &=\mu b\circ Tf,\notag\\ \epsilon_Tx &=1_{Tx}:Tx\rightarrow Tx;\notag \end{align} así que, como partimos de (I), $\wS(f:a\rightarrow Tb)=\lambda b\circ Sf$ y entonces $$G_T\wS\epsilon_TF_Ta=G_T(\lambda a)=\mu Sa\circ T\lambda a;$$ de donde, $$\xymatrix{ STa\ar[r]^{\eta STa}\ar[d]_{\lambda a} & TSTa\ar[d]^{T\lambda a}\\ TSa\ar[r]^{\eta TSa}\ar[dr]_1 & TTSa\ar[d]^{\mu Sa}\\ & TSa. }$$
La composición (IV)$\rightarrow$(I)$\rightarrow$(IV) también es la identidad. En efecto, sea $\wS$ una extensión de $S$ a $A_T$ y sea $\wS'$ la extensión de $S$ a $A_T$ inducida por $\lambda:=G_T\wS\epsilon_TF_T\circ\eta ST$. Veamos que $\wS'f=\wS f$ para $f:a\rightarrow Tb$ flecha de $A_T$. Tenemos que \begin{align} \wS'f &=G_T\wS\epsilon_TF_Tb\circ\eta STb\circ Sf\notag\\ &=G_T\wS\epsilon_TF_Tb\circ TSf\circ\eta Sa &\text{(naturalidad de $\eta$)}\notag\\ &=G_T\wS\epsilon_TF_Tb\circ G_T\wS F_Tf\circ\eta Sa &\text{($F_TS=\wS F_T$)}\notag\\ &=G_T\wS(\epsilon_TF_Tb\circ F_Tf)\circ\eta Sa\notag\\ &=G_T\wS f\circ\eta Sa &\text{(composición en $A_T$)}\notag\\ &=\mu Sb\circ T\wS f\circ\eta Sa &\text{(definición de $G_T$)}\notag\\ &=\mu Sb\circ\eta TSb\circ\wS f &\text{(naturalidad de $\eta$)}\notag\\ &=\wS f.\notag \end{align} Es claro que la unidad y la multiplicación de $\wS'$ son iguales a las de $\wS$.
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Nota. En
[1], para demostrar que (III)$\rightarrow$(I)$\rightarrow$(III) es la identidad, Beck indica que, dadas dos mónadas $(S,\eta',\mu')$ y $(T,\eta,\mu)$, un levantamiento $\wT$ de $T$ a $A^S$ es equivalente a una transformación natural $\tilde{\alpha}:STG^S\Rightarrow TG^S$, la cual da para cada $(a,\alpha)$ la estructura de $S$-álgebra de $\wT(a,\alpha)$ (en
[3], se recurre a una equivalencia similar). Así que quiere mostrar que $\tilde{\alpha}'=\tilde{\alpha}$, donde $\tilde{\alpha}'$ es la transformación natural inducida por $\wT'$. Demuestra esta igualdad entre transformaciones naturales primero para el álgebra libre $(Sa,\mu'a)$ y luego hace uso del epimorfismo canónico del álgebra libre $\alpha:(Sa,\mu'a)\rightarrow(a,\alpha)$ y el hecho de que en cualquier categoría monádica $A$, si $f:(a,\alpha)\rightarrow(a',\alpha')$ y $f:(a,\alpha)\rightarrow(a',\alpha'')$ y $f$ es un epimorfismo escindido en $A$, entonces $\alpha'=\alpha''$, para mostrar que $\tilde{\alpha}=\tilde{\alpha}'$ para cualquier $S$-álgebra. Sin embargo, este es un camino más complicado; es más fácil usar la naturalidad de $\epsilon^S$ y el hecho de que nos proporciona tal epimorfismo canónico. El concepto (IV) de la proposición anterior no aparece en [1]. Sin embargo, Eugenia Cheng atribuye la equivalencia entre (I) y (IV) a Beck en
[2], dando como referencia [1]. Por otro lado, ella tampoco da la definición de tal concepto, aunque no es difícil determinar cuál es.
Corolario. Dada una mónada $(S,\eta',\mu')$, las categorías $\dist^S$, $\lev_{S\text{-}\alg}$, $\comp_S$ y $\ext_{S\text{-}\kl}$ son isomorfas.
Demostración. Llamemos a (I)$\rightarrow $(II) $\Phi$, a (I)$\rightarrow$(III) $\Psi$ y a (I)$\rightarrow$(IV) $\Theta$. Definimos $\Phi$, $\Psi$ y $\Theta$ en las flechas como $\Phi\gamma:=\gamma$, $\Psi\gamma:=\gamma$ y $\Theta\gamma:=\gamma$ para $\gamma$ un morfismo de mónadas que se distribuye sobre $S$. Es fácil ver que $\Phi\gamma$ se compone con $S$, que $\Psi\gamma$ se levanta a $A^S$, que $\Theta\gamma$ se extiende a $A_T$ y a $A_R$, y cuáles son los funtores inversos de $\Phi$, $\Psi$ y $\Theta$, respectivamente.
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